Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15869 / 8709
↖ ↑ ↗
← N 78.624590°
W 92.828979°		 ← 120.47 m → N 78.624590°
W 92.823486°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
N 78.623506°
W 92.828979°		 ← 120.48 m →
14 514 m²		 N 78.623506°
W 92.823486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242149353027344 y=0.132896423339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242149353027344 × 216)
    floor (0.242149353027344 × 65536)
    floor (15869.5)     		tx = 15869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132896423339844 × 216)
    floor (0.132896423339844 × 65536)
    floor (8709.5)     		ty = 8709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15869 / 8709 ti = "16/15869/8709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15869/8709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15869 ÷ 216
    15869 ÷ 65536     		x = 0.242141723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8709 ÷ 216
    8709 ÷ 65536     		y = 0.132888793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242141723632812 × 2 - 1) × π
    -0.515716552734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.62017133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132888793945312 × 2 - 1) × π
    0.734222412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30662773591786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.62017133} λ = -1.62017133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30662773591786))-π/2
    2×atan(10.0405082542732)-π/2
    2×1.4715271439467-π/2
    2.9430542878934-1.57079632675     		φ = 1.37225796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.62017133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.828979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37225796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.624590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15869 KachelY 8709 -1.62017133 1.37225796 -92.828979 78.624590
    Oben rechts KachelX + 1 15870 KachelY 8709 -1.62007546 1.37225796 -92.823486 78.624590
    Unten links KachelX 15869 KachelY + 1 8710 -1.62017133 1.37223905 -92.828979 78.623506
    Unten rechts KachelX + 1 15870 KachelY + 1 8710 -1.62007546 1.37223905 -92.823486 78.623506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37225796-1.37223905) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37225796-1.37223905) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.62017133--1.62007546) × cos(1.37225796) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197236621236011 × 6371000     		do = 120.469716047075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.62017133--1.62007546) × cos(1.37223905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197255159731052 × 6371000     		du = 120.48103913312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37225796)-sin(1.37223905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197236621236011-0.197255159731052)×R²
    abs(-1.62007546--1.62017133)×1.85384950402989e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.85384950402989e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.85384950402989e-05×40589641000000     		ar = 14514.3446059609m²