Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15869 / 18792
↖ ↑ ↗
← S 25.562265°
W  5.657959°		 ← 1 102 m → S 25.562265°
W  5.646973°		 →
↑
1 101.99 m
↓
↑
1 101.99 m
↓
S 25.572176°
W  5.657959°		 ← 1 101.91 m →
1 214 349 m²		 S 25.572176°
W  5.646973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484298706054688 y=0.573501586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484298706054688 × 215)
    floor (0.484298706054688 × 32768)
    floor (15869.5)     		tx = 15869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573501586914062 × 215)
    floor (0.573501586914062 × 32768)
    floor (18792.5)     		ty = 18792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15869 / 18792 ti = "15/15869/18792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15869/18792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15869 ÷ 215
    15869 ÷ 32768     		x = 0.484283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18792 ÷ 215
    18792 ÷ 32768     		y = 0.573486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.03143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09875001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573486328125 × 2 - 1) × π
    -0.14697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.461728217140381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09875001} λ = -0.09875001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.461728217140381))-π/2
    2×atan(0.630193592485785)-π/2
    2×0.562325319018843-π/2
    1.12465063803769-1.57079632675     		φ = -0.44614569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09875001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.657959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44614569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.562265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15869 KachelY 18792 -0.09875001 -0.44614569 -5.657959 -25.562265
    Oben rechts KachelX + 1 15870 KachelY 18792 -0.09855827 -0.44614569 -5.646973 -25.562265
    Unten links KachelX 15869 KachelY + 1 18793 -0.09875001 -0.44631866 -5.657959 -25.572176
    Unten rechts KachelX + 1 15870 KachelY + 1 18793 -0.09855827 -0.44631866 -5.646973 -25.572176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44614569--0.44631866) × R
    0.000172969999999995 × 6371000     		dl = 1101.99186999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44614569--0.44631866) × R
    0.000172969999999995 × 6371000     		dr = 1101.99186999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09875001--0.09855827) × cos(-0.44614569) × R
    0.000191739999999996 × 0.902116901829309 × 6371000     		do = 1102.00394149524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09875001--0.09855827) × cos(-0.44631866) × R
    0.000191739999999996 × 0.902042253213629 × 6371000     		du = 1101.91275257223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44614569)-sin(-0.44631866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902116901829309-0.902042253213629)×R²
    abs(-0.09855827--0.09875001)×7.4648615680184e-05×R²
    0.000191739999999996×7.4648615680184e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.4648615680184e-05×40589641000000     		ar = 1214349.14253719m²