Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15868 / 21823
↖ ↑ ↗
← N 75.974219°
W136.417236°		 ← 74.02 m → N 75.974219°
W136.414490°		 →
↑
74.03 m
↓
↑
74.03 m
↓
N 75.973553°
W136.417236°		 ← 74.03 m →
5 480 m²		 N 75.973553°
W136.414490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121067047119141 y=0.166500091552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121067047119141 × 217)
    floor (0.121067047119141 × 131072)
    floor (15868.5)     		tx = 15868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166500091552734 × 217)
    floor (0.166500091552734 × 131072)
    floor (21823.5)     		ty = 21823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15868 / 21823 ti = "17/15868/21823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15868/21823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15868 ÷ 217
    15868 ÷ 131072     		x = 0.121063232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21823 ÷ 217
    21823 ÷ 131072     		y = 0.166496276855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.121063232421875 × 2 - 1) × π
    -0.75787353515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.38092993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166496276855469 × 2 - 1) × π
    0.667007446289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.09546569309151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38092993} λ = -2.38092993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09546569309151))-π/2
    2×atan(8.12922581315717)-π/2
    2×1.44839829422005-π/2
    2.89679658844011-1.57079632675     		φ = 1.32600026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38092993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.417236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32600026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.974219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15868 KachelY 21823 -2.38092993 1.32600026 -136.417236 75.974219
    Oben rechts KachelX + 1 15869 KachelY 21823 -2.38088199 1.32600026 -136.414490 75.974219
    Unten links KachelX 15868 KachelY + 1 21824 -2.38092993 1.32598864 -136.417236 75.973553
    Unten rechts KachelX + 1 15869 KachelY + 1 21824 -2.38088199 1.32598864 -136.414490 75.973553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32600026-1.32598864) × R
    1.161999999999e-05 × 6371000     		dl = 74.0310199999361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32600026-1.32598864) × R
    1.161999999999e-05 × 6371000     		dr = 74.0310199999361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38092993--2.38088199) × cos(1.32600026) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.242358476532064 × 6371000     		do = 74.0225170407154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38092993--2.38088199) × cos(1.32598864) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.24236975008597 × 6371000     		du = 74.0259602742596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32600026)-sin(1.32598864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242358476532064-0.24236975008597)×R²
    abs(-2.38088199--2.38092993)×1.12735539059827e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.12735539059827e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.12735539059827e-05×40589641000000     		ar = 5480.08989249801m²