Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15866 / 21822
↖ ↑ ↗
← N 75.974884°
W136.422729°		 ← 74 m → N 75.974884°
W136.419983°		 →
↑
74.03 m
↓
↑
74.03 m
↓
N 75.974219°
W136.422729°		 ← 74.01 m →
5 479 m²		 N 75.974219°
W136.419983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121051788330078 y=0.166492462158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121051788330078 × 217)
    floor (0.121051788330078 × 131072)
    floor (15866.5)     		tx = 15866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166492462158203 × 217)
    floor (0.166492462158203 × 131072)
    floor (21822.5)     		ty = 21822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15866 / 21822 ti = "17/15866/21822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15866/21822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15866 ÷ 217
    15866 ÷ 131072     		x = 0.121047973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21822 ÷ 217
    21822 ÷ 131072     		y = 0.166488647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.121047973632812 × 2 - 1) × π
    -0.757904052734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.38102580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166488647460938 × 2 - 1) × π
    0.667022705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.09551362999113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38102580} λ = -2.38102580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09551362999113))-π/2
    2×atan(8.12961551237938)-π/2
    2×1.44840410304192-π/2
    2.89680820608383-1.57079632675     		φ = 1.32601188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38102580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.422729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32601188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.974884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15866 KachelY 21822 -2.38102580 1.32601188 -136.422729 75.974884
    Oben rechts KachelX + 1 15867 KachelY 21822 -2.38097787 1.32601188 -136.419983 75.974884
    Unten links KachelX 15866 KachelY + 1 21823 -2.38102580 1.32600026 -136.422729 75.974219
    Unten rechts KachelX + 1 15867 KachelY + 1 21823 -2.38097787 1.32600026 -136.419983 75.974219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32601188-1.32600026) × R
    1.161999999999e-05 × 6371000     		dl = 74.0310199999361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32601188-1.32600026) × R
    1.161999999999e-05 × 6371000     		dr = 74.0310199999361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38102580--2.38097787) × cos(1.32601188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.242347202945434 × 6371000     		do = 74.0036338562849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38102580--2.38097787) × cos(1.32600026) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.242358476532064 × 6371000     		du = 74.0070763815837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32601188)-sin(1.32600026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242347202945434-0.242358476532064)×R²
    abs(-2.38097787--2.38102580)×1.1273586630306e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.1273586630306e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.1273586630306e-05×40589641000000     		ar = 5478.69192489348m²