Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15864 / 17912
↖ ↑ ↗
← S 16.551962°
W  5.712891°		 ← 1 171.02 m → S 16.551962°
W  5.701904°		 →
↑
1 170.99 m
↓
↑
1 170.99 m
↓
S 16.562493°
W  5.712891°		 ← 1 170.95 m →
1 371 211 m²		 S 16.562493°
W  5.701904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484146118164062 y=0.546646118164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484146118164062 × 215)
    floor (0.484146118164062 × 32768)
    floor (15864.5)     		tx = 15864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546646118164062 × 215)
    floor (0.546646118164062 × 32768)
    floor (17912.5)     		ty = 17912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15864 / 17912 ti = "15/15864/17912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15864/17912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15864 ÷ 215
    15864 ÷ 32768     		x = 0.484130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17912 ÷ 215
    17912 ÷ 32768     		y = 0.546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.03173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09970875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.09326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.292990330477783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09970875} λ = -0.09970875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292990330477783))-π/2
    2×atan(0.746029354409762)-π/2
    2×0.640955048545217-π/2
    1.28191009709043-1.57079632675     		φ = -0.28888623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09970875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.712891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28888623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.551962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15864 KachelY 17912 -0.09970875 -0.28888623 -5.712891 -16.551962
    Oben rechts KachelX + 1 15865 KachelY 17912 -0.09951700 -0.28888623 -5.701904 -16.551962
    Unten links KachelX 15864 KachelY + 1 17913 -0.09970875 -0.28907003 -5.712891 -16.562493
    Unten rechts KachelX + 1 15865 KachelY + 1 17913 -0.09951700 -0.28907003 -5.701904 -16.562493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28888623--0.28907003) × R
    0.000183799999999956 × 6371000     		dl = 1170.98979999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28888623--0.28907003) × R
    0.000183799999999956 × 6371000     		dr = 1170.98979999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09970875--0.09951700) × cos(-0.28888623) × R
    0.000191750000000004 × 0.958561766113755 × 6371000     		do = 1171.01667703391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09970875--0.09951700) × cos(-0.28907003) × R
    0.000191750000000004 × 0.958509388099347 × 6371000     		du = 1170.95268999567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28888623)-sin(-0.28907003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958561766113755-0.958509388099347)×R²
    abs(-0.09951700--0.09970875)×5.23780144078279e-05×R²
    0.000191750000000004×5.23780144078279e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.23780144078279e-05×40589641000000     		ar = 1371211.12421186m²