Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15862 / 19226
↖ ↑ ↗
← S 29.783450°
W  5.734863°		 ← 1 060.27 m → S 29.783450°
W  5.723877°		 →
↑
1 060.20 m
↓
↑
1 060.20 m
↓
S 29.792984°
W  5.734863°		 ← 1 060.17 m →
1 124 044 m²		 S 29.792984°
W  5.723877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484085083007812 y=0.586746215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484085083007812 × 215)
    floor (0.484085083007812 × 32768)
    floor (15862.5)     		tx = 15862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586746215820312 × 215)
    floor (0.586746215820312 × 32768)
    floor (19226.5)     		ty = 19226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15862 / 19226 ti = "15/15862/19226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15862/19226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15862 ÷ 215
    15862 ÷ 32768     		x = 0.48406982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19226 ÷ 215
    19226 ÷ 32768     		y = 0.58673095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48406982421875 × 2 - 1) × π
    -0.0318603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10009225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58673095703125 × 2 - 1) × π
    -0.1734619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.544946674880798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10009225} λ = -0.10009225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544946674880798))-π/2
    2×atan(0.579872704296486)-π/2
    2×0.525488535592789-π/2
    1.05097707118558-1.57079632675     		φ = -0.51981926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10009225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.734863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51981926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.783450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15862 KachelY 19226 -0.10009225 -0.51981926 -5.734863 -29.783450
    Oben rechts KachelX + 1 15863 KachelY 19226 -0.09990050 -0.51981926 -5.723877 -29.783450
    Unten links KachelX 15862 KachelY + 1 19227 -0.10009225 -0.51998567 -5.734863 -29.792984
    Unten rechts KachelX + 1 15863 KachelY + 1 19227 -0.09990050 -0.51998567 -5.723877 -29.792984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51981926--0.51998567) × R
    0.00016640999999995 × 6371000     		dl = 1060.19810999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51981926--0.51998567) × R
    0.00016640999999995 × 6371000     		dr = 1060.19810999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10009225--0.09990050) × cos(-0.51981926) × R
    0.000191749999999991 × 0.867908971618773 × 6371000     		do = 1060.27166515658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10009225--0.09990050) × cos(-0.51998567) × R
    0.000191749999999991 × 0.867826299880922 × 6371000     		du = 1060.17067011675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51981926)-sin(-0.51998567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867908971618773-0.867826299880922)×R²
    abs(-0.09990050--0.10009225)×8.26717378509256e-05×R²
    0.000191749999999991×8.26717378509256e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.26717378509256e-05×40589641000000     		ar = 1124044.48070395m²