Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15861 / 10709
↖ ↑ ↗
← S 48.297813°
E168.508301°		 ← 1 625.37 m → S 48.297813°
E168.530273°		 →
↑
1 625.18 m
↓
↑
1 625.18 m
↓
S 48.312428°
E168.508301°		 ← 1 624.90 m →
2 641 139 m²		 S 48.312428°
E168.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968109130859375 y=0.653656005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968109130859375 × 214)
    floor (0.968109130859375 × 16384)
    floor (15861.5)     		tx = 15861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653656005859375 × 214)
    floor (0.653656005859375 × 16384)
    floor (10709.5)     		ty = 10709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15861 / 10709 ti = "14/15861/10709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15861/10709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15861 ÷ 214
    15861 ÷ 16384     		x = 0.96807861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10709 ÷ 214
    10709 ÷ 16384     		y = 0.65362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.96807861328125 × 2 - 1) × π
    0.9361572265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.94102467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.3072509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.965257410749451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94102467} λ = 2.94102467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965257410749451))-π/2
    2×atan(0.380885143189311)-π/2
    2×0.363920238654687-π/2
    0.727840477309373-1.57079632675     		φ = -0.84295585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94102467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84295585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.297813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15861 KachelY 10709 2.94102467 -0.84295585 168.508301 -48.297813
    Oben rechts KachelX + 1 15862 KachelY 10709 2.94140816 -0.84295585 168.530273 -48.297813
    Unten links KachelX 15861 KachelY + 1 10710 2.94102467 -0.84321094 168.508301 -48.312428
    Unten rechts KachelX + 1 15862 KachelY + 1 10710 2.94140816 -0.84321094 168.530273 -48.312428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84295585--0.84321094) × R
    0.000255090000000013 × 6371000     		dl = 1625.17839000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84295585--0.84321094) × R
    0.000255090000000013 × 6371000     		dr = 1625.17839000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94102467-2.94140816) × cos(-0.84295585) × R
    0.000383489999999931 × 0.665258859854601 × 6371000     		do = 1625.370285575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94102467-2.94140816) × cos(-0.84321094) × R
    0.000383489999999931 × 0.665068384757071 × 6371000     		du = 1624.90491399959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84295585)-sin(-0.84321094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665258859854601-0.665068384757071)×R²
    abs(2.94140816-2.94102467)×0.000190475097530118×R²
    0.000383489999999931×0.000190475097530118×6371000²
    0.000383489999999931×0.000190475097530118×40589641000000     		ar = 2641138.5222727m²