Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15860 / 19229
↖ ↑ ↗
← S 29.812051°
W  5.756836°		 ← 1 059.97 m → S 29.812051°
W  5.745849°		 →
↑
1 059.94 m
↓
↑
1 059.94 m
↓
S 29.821583°
W  5.756836°		 ← 1 059.87 m →
1 123 453 m²		 S 29.821583°
W  5.745849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484024047851562 y=0.586837768554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484024047851562 × 215)
    floor (0.484024047851562 × 32768)
    floor (15860.5)     		tx = 15860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586837768554688 × 215)
    floor (0.586837768554688 × 32768)
    floor (19229.5)     		ty = 19229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15860 / 19229 ti = "15/15860/19229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15860/19229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15860 ÷ 215
    15860 ÷ 32768     		x = 0.4840087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19229 ÷ 215
    19229 ÷ 32768     		y = 0.586822509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4840087890625 × 2 - 1) × π
    -0.031982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10047574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586822509765625 × 2 - 1) × π
    -0.17364501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.545521917676239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10047574} λ = -0.10047574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.545521917676239))-π/2
    2×atan(0.579539232623851)-π/2
    2×0.525238942071705-π/2
    1.05047788414341-1.57079632675     		φ = -0.52031844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10047574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.756836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52031844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.812051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15860 KachelY 19229 -0.10047574 -0.52031844 -5.756836 -29.812051
    Oben rechts KachelX + 1 15861 KachelY 19229 -0.10028399 -0.52031844 -5.745849 -29.812051
    Unten links KachelX 15860 KachelY + 1 19230 -0.10047574 -0.52048481 -5.756836 -29.821583
    Unten rechts KachelX + 1 15861 KachelY + 1 19230 -0.10028399 -0.52048481 -5.745849 -29.821583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52031844--0.52048481) × R
    0.000166369999999971 × 6371000     		dl = 1059.94326999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52031844--0.52048481) × R
    0.000166369999999971 × 6371000     		dr = 1059.94326999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10047574--0.10028399) × cos(-0.52031844) × R
    0.000191749999999991 × 0.867660909169047 × 6371000     		do = 1059.96862233154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10047574--0.10028399) × cos(-0.52048481) × R
    0.000191749999999991 × 0.867578185241031 × 6371000     		du = 1059.86756353416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52031844)-sin(-0.52048481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867660909169047-0.867578185241031)×R²
    abs(-0.10028399--0.10047574)×8.27239280157821e-05×R²
    0.000191749999999991×8.27239280157821e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.27239280157821e-05×40589641000000     		ar = 1123453.0519466m²