Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1586 / 1499
↖ ↑ ↗
← S 63.782486°
E 98.789063°		 ← 8 635.02 m → S 63.782486°
E 98.964844°		 →
↑
8 623.15 m
↓
↑
8 623.15 m
↓
S 63.860036°
E 98.789063°		 ← 8 611.28 m →
74 358 724 m²		 S 63.860036°
E 98.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774658203125 y=0.732177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774658203125 × 211)
    floor (0.774658203125 × 2048)
    floor (1586.5)     		tx = 1586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732177734375 × 211)
    floor (0.732177734375 × 2048)
    floor (1499.5)     		ty = 1499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1586 / 1499 ti = "11/1586/1499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1586/1499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1586 ÷ 211
    1586 ÷ 2048     		x = 0.7744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1499 ÷ 211
    1499 ÷ 2048     		y = 0.73193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7744140625 × 2 - 1) × π
    0.548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72419441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73193359375 × 2 - 1) × π
    -0.4638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45728174844971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72419441} λ = 1.72419441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45728174844971))-π/2
    2×atan(0.232868410105829)-π/2
    2×0.228790970231089-π/2
    0.457581940462178-1.57079632675     		φ = -1.11321439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72419441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11321439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.782486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1586 KachelY 1499 1.72419441 -1.11321439 98.789063 -63.782486
    Oben rechts KachelX + 1 1587 KachelY 1499 1.72726237 -1.11321439 98.964844 -63.782486
    Unten links KachelX 1586 KachelY + 1 1500 1.72419441 -1.11456789 98.789063 -63.860036
    Unten rechts KachelX + 1 1587 KachelY + 1 1500 1.72726237 -1.11456789 98.964844 -63.860036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11321439--1.11456789) × R
    0.00135350000000001 × 6371000     		dl = 8623.14850000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11321439--1.11456789) × R
    0.00135350000000001 × 6371000     		dr = 8623.14850000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72419441-1.72726237) × cos(-1.11321439) × R
    0.00306796000000009 × 0.44178009961464 × 6371000     		do = 8635.02196969014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72419441-1.72726237) × cos(-1.11456789) × R
    0.00306796000000009 × 0.44056543883997 × 6371000     		du = 8611.28024278993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11321439)-sin(-1.11456789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44178009961464-0.44056543883997)×R²
    abs(1.72726237-1.72419441)×0.00121466077467008×R²
    0.00306796000000009×0.00121466077467008×6371000²
    0.00306796000000009×0.00121466077467008×40589641000000     		ar = 74358723.8789251m²