Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15859 / 19222
↖ ↑ ↗
← S 29.745302°
W  5.767822°		 ← 1 060.68 m → S 29.745302°
W  5.756836°		 →
↑
1 060.64 m
↓
↑
1 060.64 m
↓
S 29.754840°
W  5.767822°		 ← 1 060.57 m →
1 124 946 m²		 S 29.754840°
W  5.756836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483993530273438 y=0.586624145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483993530273438 × 215)
    floor (0.483993530273438 × 32768)
    floor (15859.5)     		tx = 15859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586624145507812 × 215)
    floor (0.586624145507812 × 32768)
    floor (19222.5)     		ty = 19222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15859 / 19222 ti = "15/15859/19222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15859/19222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15859 ÷ 215
    15859 ÷ 32768     		x = 0.483978271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19222 ÷ 215
    19222 ÷ 32768     		y = 0.58660888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483978271484375 × 2 - 1) × π
    -0.03204345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10066749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58660888671875 × 2 - 1) × π
    -0.1732177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.544179684486877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10066749} λ = -0.10066749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544179684486877))-π/2
    2×atan(0.580317631696087)-π/2
    2×0.525821437901916-π/2
    1.05164287580383-1.57079632675     		φ = -0.51915345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10066749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.767822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51915345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.745302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15859 KachelY 19222 -0.10066749 -0.51915345 -5.767822 -29.745302
    Oben rechts KachelX + 1 15860 KachelY 19222 -0.10047574 -0.51915345 -5.756836 -29.745302
    Unten links KachelX 15859 KachelY + 1 19223 -0.10066749 -0.51931993 -5.767822 -29.754840
    Unten rechts KachelX + 1 15860 KachelY + 1 19223 -0.10047574 -0.51931993 -5.756836 -29.754840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51915345--0.51931993) × R
    0.000166479999999969 × 6371000     		dl = 1060.6440799998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51915345--0.51931993) × R
    0.000166479999999969 × 6371000     		dr = 1060.6440799998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10066749--0.10047574) × cos(-0.51915345) × R
    0.000191750000000004 × 0.868239502548156 × 6371000     		do = 1060.67545471333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10066749--0.10047574) × cos(-0.51931993) × R
    0.000191750000000004 × 0.868156892245849 × 6371000     		du = 1060.57453472557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51915345)-sin(-0.51931993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868239502548156-0.868156892245849)×R²
    abs(-0.10047574--0.10066749)×8.26103023063851e-05×R²
    0.000191750000000004×8.26103023063851e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.26103023063851e-05×40589641000000     		ar = 1124945.6243472m²