Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15858 / 18774
↖ ↑ ↗
← S 25.383735°
W  5.778809°		 ← 1 103.70 m → S 25.383735°
W  5.767822°		 →
↑
1 103.65 m
↓
↑
1 103.65 m
↓
S 25.393661°
W  5.778809°		 ← 1 103.61 m →
1 218 045 m²		 S 25.393661°
W  5.767822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483963012695312 y=0.572952270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483963012695312 × 215)
    floor (0.483963012695312 × 32768)
    floor (15858.5)     		tx = 15858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572952270507812 × 215)
    floor (0.572952270507812 × 32768)
    floor (18774.5)     		ty = 18774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15858 / 18774 ti = "15/15858/18774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15858/18774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15858 ÷ 215
    15858 ÷ 32768     		x = 0.48394775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18774 ÷ 215
    18774 ÷ 32768     		y = 0.57293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48394775390625 × 2 - 1) × π
    -0.0321044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10085924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57293701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.458276760367737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10085924} λ = -0.10085924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458276760367737))-π/2
    2×atan(0.632372436358401)-π/2
    2×0.563883285078767-π/2
    1.12776657015753-1.57079632675     		φ = -0.44302976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10085924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.778809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44302976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.383735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15858 KachelY 18774 -0.10085924 -0.44302976 -5.778809 -25.383735
    Oben rechts KachelX + 1 15859 KachelY 18774 -0.10066749 -0.44302976 -5.767822 -25.383735
    Unten links KachelX 15858 KachelY + 1 18775 -0.10085924 -0.44320299 -5.778809 -25.393661
    Unten rechts KachelX + 1 15859 KachelY + 1 18775 -0.10066749 -0.44320299 -5.767822 -25.393661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44302976--0.44320299) × R
    0.000173230000000024 × 6371000     		dl = 1103.64833000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44302976--0.44320299) × R
    0.000173230000000024 × 6371000     		dr = 1103.64833000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10085924--0.10066749) × cos(-0.44302976) × R
    0.000191750000000004 × 0.903457018284435 × 6371000     		do = 1103.69855422426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10085924--0.10066749) × cos(-0.44320299) × R
    0.000191750000000004 × 0.903382744720218 × 6371000     		du = 1103.60781872297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44302976)-sin(-0.44320299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903457018284435-0.903382744720218)×R²
    abs(-0.10066749--0.10085924)×7.42735642162984e-05×R²
    0.000191750000000004×7.42735642162984e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.42735642162984e-05×40589641000000     		ar = 1218044.99919719m²