Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15857 / 10725
↖ ↑ ↗
← S 48.531157°
E168.420410°		 ← 1 617.97 m → S 48.531157°
E168.442383°		 →
↑
1 617.72 m
↓
↑
1 617.72 m
↓
S 48.545706°
E168.420410°		 ← 1 617.51 m →
2 617 053 m²		 S 48.545706°
E168.442383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.967864990234375 y=0.654632568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.967864990234375 × 214)
    floor (0.967864990234375 × 16384)
    floor (15857.5)     		tx = 15857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654632568359375 × 214)
    floor (0.654632568359375 × 16384)
    floor (10725.5)     		ty = 10725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15857 / 10725 ti = "14/15857/10725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15857/10725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15857 ÷ 214
    15857 ÷ 16384     		x = 0.96783447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10725 ÷ 214
    10725 ÷ 16384     		y = 0.65460205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.96783447265625 × 2 - 1) × π
    0.9356689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.93949068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.3092041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.971393333900818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93949068} λ = 2.93949068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971393333900818))-π/2
    2×atan(0.378555216656334)-π/2
    2×0.361883923584705-π/2
    0.723767847169409-1.57079632675     		φ = -0.84702848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93949068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.420410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84702848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.531157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15857 KachelY 10725 2.93949068 -0.84702848 168.420410 -48.531157
    Oben rechts KachelX + 1 15858 KachelY 10725 2.93987418 -0.84702848 168.442383 -48.531157
    Unten links KachelX 15857 KachelY + 1 10726 2.93949068 -0.84728240 168.420410 -48.545706
    Unten rechts KachelX + 1 15858 KachelY + 1 10726 2.93987418 -0.84728240 168.442383 -48.545706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84702848--0.84728240) × R
    0.000253920000000019 × 6371000     		dl = 1617.72432000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84702848--0.84728240) × R
    0.000253920000000019 × 6371000     		dr = 1617.72432000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93949068-2.93987418) × cos(-0.84702848) × R
    0.00038349999999987 × 0.662212673548365 × 6371000     		do = 1617.96998770769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93949068-2.93987418) × cos(-0.84728240) × R
    0.00038349999999987 × 0.662022385899222 × 6371000     		du = 1617.50506198572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84702848)-sin(-0.84728240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662212673548365-0.662022385899222)×R²
    abs(2.93987418-2.93949068)×0.000190287649143306×R²
    0.00038349999999987×0.000190287649143306×6371000²
    0.00038349999999987×0.000190287649143306×40589641000000     		ar = 2617053.35138119m²