Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15854 / 18789
↖ ↑ ↗
← S 25.532529°
W  5.822754°		 ← 1 102.33 m → S 25.532529°
W  5.811768°		 →
↑
1 102.25 m
↓
↑
1 102.25 m
↓
S 25.542441°
W  5.822754°		 ← 1 102.24 m →
1 214 995 m²		 S 25.542441°
W  5.811768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483840942382812 y=0.573410034179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483840942382812 × 215)
    floor (0.483840942382812 × 32768)
    floor (15854.5)     		tx = 15854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573410034179688 × 215)
    floor (0.573410034179688 × 32768)
    floor (18789.5)     		ty = 18789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15854 / 18789 ti = "15/15854/18789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15854/18789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15854 ÷ 215
    15854 ÷ 32768     		x = 0.48382568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18789 ÷ 215
    18789 ÷ 32768     		y = 0.573394775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48382568359375 × 2 - 1) × π
    -0.0323486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10162623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573394775390625 × 2 - 1) × π
    -0.14678955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.46115297434494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10162623} λ = -0.10162623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.46115297434494))-π/2
    2×atan(0.630556211096467)-π/2
    2×0.562584819335839-π/2
    1.12516963867168-1.57079632675     		φ = -0.44562669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10162623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.822754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44562669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.532529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15854 KachelY 18789 -0.10162623 -0.44562669 -5.822754 -25.532529
    Oben rechts KachelX + 1 15855 KachelY 18789 -0.10143448 -0.44562669 -5.811768 -25.532529
    Unten links KachelX 15854 KachelY + 1 18790 -0.10162623 -0.44579970 -5.822754 -25.542441
    Unten rechts KachelX + 1 15855 KachelY + 1 18790 -0.10143448 -0.44579970 -5.811768 -25.542441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44562669--0.44579970) × R
    0.000173010000000029 × 6371000     		dl = 1102.24671000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44562669--0.44579970) × R
    0.000173010000000029 × 6371000     		dr = 1102.24671000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10162623--0.10143448) × cos(-0.44562669) × R
    0.000191750000000004 × 0.902340724518973 × 6371000     		do = 1102.33484594584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10162623--0.10143448) × cos(-0.44579970) × R
    0.000191750000000004 × 0.902266139647135 × 6371000     		du = 1102.24373013895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44562669)-sin(-0.44579970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902340724518973-0.902266139647135)×R²
    abs(-0.10143448--0.10162623)×7.45848718379793e-05×R²
    0.000191750000000004×7.45848718379793e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.45848718379793e-05×40589641000000     		ar = 1214994.74424376m²