Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1585 / 1533
↖ ↑ ↗
← S 66.302206°
E 98.613281°		 ← 7 855.80 m → S 66.302206°
E 98.789063°		 →
↑
7 844.74 m
↓
↑
7 844.74 m
↓
S 66.372755°
E 98.613281°		 ← 7 833.75 m →
61 540 227 m²		 S 66.372755°
E 98.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774169921875 y=0.748779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774169921875 × 211)
    floor (0.774169921875 × 2048)
    floor (1585.5)     		tx = 1585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748779296875 × 211)
    floor (0.748779296875 × 2048)
    floor (1533.5)     		ty = 1533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1585 / 1533 ti = "11/1585/1533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1585/1533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1585 ÷ 211
    1585 ÷ 2048     		x = 0.77392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1533 ÷ 211
    1533 ÷ 2048     		y = 0.74853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77392578125 × 2 - 1) × π
    0.5478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72112644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74853515625 × 2 - 1) × π
    -0.4970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56159244202295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72112644} λ = 1.72112644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56159244202295))-π/2
    2×atan(0.209801707988121)-π/2
    2×0.206802269961424-π/2
    0.413604539922849-1.57079632675     		φ = -1.15719179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72112644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15719179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.302206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1585 KachelY 1533 1.72112644 -1.15719179 98.613281 -66.302206
    Oben rechts KachelX + 1 1586 KachelY 1533 1.72419441 -1.15719179 98.789063 -66.302206
    Unten links KachelX 1585 KachelY + 1 1534 1.72112644 -1.15842311 98.613281 -66.372755
    Unten rechts KachelX + 1 1586 KachelY + 1 1534 1.72419441 -1.15842311 98.789063 -66.372755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15719179--1.15842311) × R
    0.00123132000000004 × 6371000     		dl = 7844.73972000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15719179--1.15842311) × R
    0.00123132000000004 × 6371000     		dr = 7844.73972000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72112644-1.72419441) × cos(-1.15719179) × R
    0.00306797000000003 × 0.401912527077093 × 6371000     		do = 7855.79707276381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72112644-1.72419441) × cos(-1.15842311) × R
    0.00306797000000003 × 0.400784729966169 × 6371000     		du = 7833.75310885181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15719179)-sin(-1.15842311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401912527077093-0.400784729966169)×R²
    abs(1.72419441-1.72112644)×0.00112779711092409×R²
    0.00306797000000003×0.00112779711092409×6371000²
    0.00306797000000003×0.00112779711092409×40589641000000     		ar = 61540226.5246785m²