Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1585 / 1498
↖ ↑ ↗
← S 63.704723°
E 98.613281°		 ← 8 658.84 m → S 63.704723°
E 98.789063°		 →
↑
8 646.91 m
↓
↑
8 646.91 m
↓
S 63.782486°
E 98.613281°		 ← 8 635.05 m →
74 769 394 m²		 S 63.782486°
E 98.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774169921875 y=0.731689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774169921875 × 211)
    floor (0.774169921875 × 2048)
    floor (1585.5)     		tx = 1585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731689453125 × 211)
    floor (0.731689453125 × 2048)
    floor (1498.5)     		ty = 1498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1585 / 1498 ti = "11/1585/1498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1585/1498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1585 ÷ 211
    1585 ÷ 2048     		x = 0.77392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1498 ÷ 211
    1498 ÷ 2048     		y = 0.7314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77392578125 × 2 - 1) × π
    0.5478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72112644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7314453125 × 2 - 1) × π
    -0.462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45421378687402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72112644} λ = 1.72112644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45421378687402))-π/2
    2×atan(0.233583938485776)-π/2
    2×0.229469585675309-π/2
    0.458939171350619-1.57079632675     		φ = -1.11185716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72112644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11185716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.704723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1585 KachelY 1498 1.72112644 -1.11185716 98.613281 -63.704723
    Oben rechts KachelX + 1 1586 KachelY 1498 1.72419441 -1.11185716 98.789063 -63.704723
    Unten links KachelX 1585 KachelY + 1 1499 1.72112644 -1.11321439 98.613281 -63.782486
    Unten rechts KachelX + 1 1586 KachelY + 1 1499 1.72419441 -1.11321439 98.789063 -63.782486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11185716--1.11321439) × R
    0.00135722999999999 × 6371000     		dl = 8646.91232999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11185716--1.11321439) × R
    0.00135722999999999 × 6371000     		dr = 8646.91232999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72112644-1.72419441) × cos(-1.11185716) × R
    0.00306797000000003 × 0.442997295098646 × 6371000     		do = 8658.8414633085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72112644-1.72419441) × cos(-1.11321439) × R
    0.00306797000000003 × 0.44178009961464 × 6371000     		du = 8635.05011550011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11185716)-sin(-1.11321439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442997295098646-0.44178009961464)×R²
    abs(1.72419441-1.72112644)×0.00121719548400651×R²
    0.00306797000000003×0.00121719548400651×6371000²
    0.00306797000000003×0.00121719548400651×40589641000000     		ar = 74769393.6407991m²