Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15849 / 10703
↖ ↑ ↗
← S 48.210032°
E168.244629°		 ← 1 628.21 m → S 48.210032°
E168.266602°		 →
↑
1 627.98 m
↓
↑
1 627.98 m
↓
S 48.224673°
E168.244629°		 ← 1 627.74 m →
2 650 310 m²		 S 48.224673°
E168.266602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.967376708984375 y=0.653289794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.967376708984375 × 214)
    floor (0.967376708984375 × 16384)
    floor (15849.5)     		tx = 15849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653289794921875 × 214)
    floor (0.653289794921875 × 16384)
    floor (10703.5)     		ty = 10703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15849 / 10703 ti = "14/15849/10703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15849/10703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15849 ÷ 214
    15849 ÷ 16384     		x = 0.96734619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10703 ÷ 214
    10703 ÷ 16384     		y = 0.65325927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.96734619140625 × 2 - 1) × π
    0.9346923828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.93642272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65325927734375 × 2 - 1) × π
    -0.3065185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.962956439567688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93642272} λ = 2.93642272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.962956439567688))-π/2
    2×atan(0.38176255799332)-π/2
    2×0.364686266893084-π/2
    0.729372533786168-1.57079632675     		φ = -0.84142379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93642272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.244629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84142379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.210032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15849 KachelY 10703 2.93642272 -0.84142379 168.244629 -48.210032
    Oben rechts KachelX + 1 15850 KachelY 10703 2.93680622 -0.84142379 168.266602 -48.210032
    Unten links KachelX 15849 KachelY + 1 10704 2.93642272 -0.84167932 168.244629 -48.224673
    Unten rechts KachelX + 1 15850 KachelY + 1 10704 2.93680622 -0.84167932 168.266602 -48.224673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84142379--0.84167932) × R
    0.000255530000000004 × 6371000     		dl = 1627.98163000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84142379--0.84167932) × R
    0.000255530000000004 × 6371000     		dr = 1627.98163000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93642272-2.93680622) × cos(-0.84142379) × R
    0.00038349999999987 × 0.66640193423888 × 6371000     		do = 1628.20551828372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93642272-2.93680622) × cos(-0.84167932) × R
    0.00038349999999987 × 0.666211391183872 × 6371000     		du = 1627.73996853409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84142379)-sin(-0.84167932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66640193423888-0.666211391183872)×R²
    abs(2.93680622-2.93642272)×0.000190543055008874×R²
    0.00038349999999987×0.000190543055008874×6371000²
    0.00038349999999987×0.000190543055008874×40589641000000     		ar = 2650309.73483229m²