Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15845 / 21837
↖ ↑ ↗
← N 75.964897°
W136.480408°		 ← 74.07 m → N 75.964897°
W136.477661°		 →
↑
74.09 m
↓
↑
74.09 m
↓
N 75.964230°
W136.480408°		 ← 74.07 m →
5 488 m²		 N 75.964230°
W136.477661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120891571044922 y=0.166606903076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120891571044922 × 217)
    floor (0.120891571044922 × 131072)
    floor (15845.5)     		tx = 15845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166606903076172 × 217)
    floor (0.166606903076172 × 131072)
    floor (21837.5)     		ty = 21837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15845 / 21837 ti = "17/15845/21837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15845/21837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15845 ÷ 217
    15845 ÷ 131072     		x = 0.120887756347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21837 ÷ 217
    21837 ÷ 131072     		y = 0.166603088378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.120887756347656 × 2 - 1) × π
    -0.758224487304688 × 3.1415926535     		Λ = -2.38203248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166603088378906 × 2 - 1) × π
    0.666793823242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.09479457649683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38203248} λ = -2.38203248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09479457649683))-π/2
    2×atan(8.12377198509401)-π/2
    2×1.44831694234164-π/2
    2.89663388468329-1.57079632675     		φ = 1.32583756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38203248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.480408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32583756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.964897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15845 KachelY 21837 -2.38203248 1.32583756 -136.480408 75.964897
    Oben rechts KachelX + 1 15846 KachelY 21837 -2.38198454 1.32583756 -136.477661 75.964897
    Unten links KachelX 15845 KachelY + 1 21838 -2.38203248 1.32582593 -136.480408 75.964230
    Unten rechts KachelX + 1 15846 KachelY + 1 21838 -2.38198454 1.32582593 -136.477661 75.964230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32583756-1.32582593) × R
    1.16300000001512e-05 × 6371000     		dl = 74.0947300009636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32583756-1.32582593) × R
    1.16300000001512e-05 × 6371000     		dr = 74.0947300009636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38203248--2.38198454) × cos(1.32583756) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24251632271109 × 6371000     		do = 74.0707273260649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38203248--2.38198454) × cos(1.32582593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.242527605508085 × 6371000     		du = 74.0741733826862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32583756)-sin(1.32582593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24251632271109-0.242527605508085)×R²
    abs(-2.38198454--2.38203248)×1.12827969947216e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12827969947216e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12827969947216e-05×40589641000000     		ar = 5488.37820976744m²