Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 15843 / 9758
↖ ↑ ↗
← N 77.430215°
W 92.971802°		 ← 132.92 m → N 77.430215°
W 92.966309°		 →
↑
132.96 m
↓
↑
132.96 m
↓
N 77.429019°
W 92.971802°		 ← 132.94 m →
17 675 m²		 N 77.429019°
W 92.966309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.241752624511719 y=0.148902893066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.241752624511719 × 216)
    floor (0.241752624511719 × 65536)
    floor (15843.5)     		tx = 15843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148902893066406 × 216)
    floor (0.148902893066406 × 65536)
    floor (9758.5)     		ty = 9758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15843 / 9758 ti = "16/15843/9758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15843/9758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15843 ÷ 216
    15843 ÷ 65536     		x = 0.241744995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9758 ÷ 216
    9758 ÷ 65536     		y = 0.148895263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.241744995117188 × 2 - 1) × π
    -0.516510009765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.62266405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148895263671875 × 2 - 1) × π
    0.70220947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20605612051498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.62266405} λ = -1.62266405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20605612051498))-π/2
    2×atan(9.07983590683094)-π/2
    2×1.46110425682281-π/2
    2.92220851364563-1.57079632675     		φ = 1.35141219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.62266405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.971802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35141219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.430215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15843 KachelY 9758 -1.62266405 1.35141219 -92.971802 77.430215
    Oben rechts KachelX + 1 15844 KachelY 9758 -1.62256818 1.35141219 -92.966309 77.430215
    Unten links KachelX 15843 KachelY + 1 9759 -1.62266405 1.35139132 -92.971802 77.429019
    Unten rechts KachelX + 1 15844 KachelY + 1 9759 -1.62256818 1.35139132 -92.966309 77.429019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35141219-1.35139132) × R
    2.08699999999507e-05 × 6371000     		dl = 132.962769999686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35141219-1.35139132) × R
    2.08699999999507e-05 × 6371000     		dr = 132.962769999686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.62266405--1.62256818) × cos(1.35141219) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217628562401984 × 6371000     		do = 132.924864317811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.62266405--1.62256818) × cos(1.35139132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217648932135412 × 6371000     		du = 132.937305901867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35141219)-sin(1.35139132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217628562401984-0.217648932135412)×R²
    abs(-1.62256818--1.62266405)×2.03697334280883e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.03697334280883e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.03697334280883e-05×40589641000000     		ar = 17674.8852961123m²