Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15840 / 9743
↖ ↑ ↗
← N 58.728302°
W  5.976562°		 ← 634.12 m → N 58.728302°
W  5.965576°		 →
↑
634.23 m
↓
↑
634.23 m
↓
N 58.722599°
W  5.976562°		 ← 634.22 m →
402 210 m²		 N 58.722599°
W  5.965576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483413696289062 y=0.297348022460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483413696289062 × 215)
    floor (0.483413696289062 × 32768)
    floor (15840.5)     		tx = 15840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297348022460938 × 215)
    floor (0.297348022460938 × 32768)
    floor (9743.5)     		ty = 9743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15840 / 9743 ti = "15/15840/9743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15840/9743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15840 ÷ 215
    15840 ÷ 32768     		x = 0.4833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9743 ÷ 215
    9743 ÷ 32768     		y = 0.297332763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4833984375 × 2 - 1) × π
    -0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297332763671875 × 2 - 1) × π
    0.40533447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27339580150717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10431069} λ = -0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27339580150717))-π/2
    2×atan(3.57296506504145)-π/2
    2×1.29789928270393-π/2
    2.59579856540787-1.57079632675     		φ = 1.02500224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02500224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.728302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15840 KachelY 9743 -0.10431069 1.02500224 -5.976562 58.728302
    Oben rechts KachelX + 1 15841 KachelY 9743 -0.10411895 1.02500224 -5.965576 58.728302
    Unten links KachelX 15840 KachelY + 1 9744 -0.10431069 1.02490269 -5.976562 58.722599
    Unten rechts KachelX + 1 15841 KachelY + 1 9744 -0.10411895 1.02490269 -5.965576 58.722599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02500224-1.02490269) × R
    9.95500000000593e-05 × 6371000     		dl = 634.233050000378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02500224-1.02490269) × R
    9.95500000000593e-05 × 6371000     		dr = 634.233050000378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10431069--0.10411895) × cos(1.02500224) × R
    0.000191739999999996 × 0.519096972272283 × 6371000     		do = 634.116164215865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10431069--0.10411895) × cos(1.02490269) × R
    0.000191739999999996 × 0.519182056613281 × 6371000     		du = 634.220101165666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02500224)-sin(1.02490269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519096972272283-0.519182056613281)×R²
    abs(-0.10411895--0.10431069)×8.50843409982982e-05×R²
    0.000191739999999996×8.50843409982982e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.50843409982982e-05×40589641000000     		ar = 402210.389341803m²