Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15840 / 7010
↖ ↑ ↗
← N 71.180667°
W  5.976562°		 ← 394.06 m → N 71.180667°
W  5.965576°		 →
↑
394.11 m
↓
↑
394.11 m
↓
N 71.177123°
W  5.976562°		 ← 394.13 m →
155 318 m²		 N 71.177123°
W  5.965576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483413696289062 y=0.213943481445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483413696289062 × 215)
    floor (0.483413696289062 × 32768)
    floor (15840.5)     		tx = 15840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213943481445312 × 215)
    floor (0.213943481445312 × 32768)
    floor (7010.5)     		ty = 7010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15840 / 7010 ti = "15/15840/7010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15840/7010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15840 ÷ 215
    15840 ÷ 32768     		x = 0.4833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7010 ÷ 215
    7010 ÷ 32768     		y = 0.21392822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4833984375 × 2 - 1) × π
    -0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21392822265625 × 2 - 1) × π
    0.5721435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79744198815363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10431069} λ = -0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79744198815363))-π/2
    2×atan(6.03419217037276)-π/2
    2×1.40656666618222-π/2
    2.81313333236444-1.57079632675     		φ = 1.24233701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24233701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.180667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15840 KachelY 7010 -0.10431069 1.24233701 -5.976562 71.180667
    Oben rechts KachelX + 1 15841 KachelY 7010 -0.10411895 1.24233701 -5.965576 71.180667
    Unten links KachelX 15840 KachelY + 1 7011 -0.10431069 1.24227515 -5.976562 71.177123
    Unten rechts KachelX + 1 15841 KachelY + 1 7011 -0.10411895 1.24227515 -5.965576 71.177123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24233701-1.24227515) × R
    6.18599999999692e-05 × 6371000     		dl = 394.110059999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24233701-1.24227515) × R
    6.18599999999692e-05 × 6371000     		dr = 394.110059999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10431069--0.10411895) × cos(1.24233701) × R
    0.000191739999999996 × 0.32258509283035 × 6371000     		do = 394.062058970177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10431069--0.10411895) × cos(1.24227515) × R
    0.000191739999999996 × 0.322643645206462 × 6371000     		du = 394.133585120644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24233701)-sin(1.24227515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32258509283035-0.322643645206462)×R²
    abs(-0.10411895--0.10431069)×5.85523761119644e-05×R²
    0.000191739999999996×5.85523761119644e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.85523761119644e-05×40589641000000     		ar = 155317.916341199m²