Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15832 / 7607
↖ ↑ ↗
← N 68.946554°
W  6.064453°		 ← 438.84 m → N 68.946554°
W  6.053467°		 →
↑
438.90 m
↓
↑
438.90 m
↓
N 68.942607°
W  6.064453°		 ← 438.92 m →
192 622 m²		 N 68.942607°
W  6.053467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483169555664062 y=0.232162475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483169555664062 × 215)
    floor (0.483169555664062 × 32768)
    floor (15832.5)     		tx = 15832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232162475585938 × 215)
    floor (0.232162475585938 × 32768)
    floor (7607.5)     		ty = 7607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15832 / 7607 ti = "15/15832/7607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15832/7607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15832 ÷ 215
    15832 ÷ 32768     		x = 0.483154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7607 ÷ 215
    7607 ÷ 32768     		y = 0.232147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483154296875 × 2 - 1) × π
    -0.03369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10584467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232147216796875 × 2 - 1) × π
    0.53570556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68296867186093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10584467} λ = -0.10584467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68296867186093))-π/2
    2×atan(5.38150821292176)-π/2
    2×1.38707034998659-π/2
    2.77414069997317-1.57079632675     		φ = 1.20334437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10584467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20334437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.946554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15832 KachelY 7607 -0.10584467 1.20334437 -6.064453 68.946554
    Oben rechts KachelX + 1 15833 KachelY 7607 -0.10565293 1.20334437 -6.053467 68.946554
    Unten links KachelX 15832 KachelY + 1 7608 -0.10584467 1.20327548 -6.064453 68.942607
    Unten rechts KachelX + 1 15833 KachelY + 1 7608 -0.10565293 1.20327548 -6.053467 68.942607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20334437-1.20327548) × R
    6.88899999998771e-05 × 6371000     		dl = 438.898189999217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20334437-1.20327548) × R
    6.88899999998771e-05 × 6371000     		dr = 438.898189999217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10584467--0.10565293) × cos(1.20334437) × R
    0.000191739999999996 × 0.359238650279844 × 6371000     		do = 438.837148204462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10584467--0.10565293) × cos(1.20327548) × R
    0.000191739999999996 × 0.359302940725674 × 6371000     		du = 438.915683840543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20334437)-sin(1.20327548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359238650279844-0.359302940725674)×R²
    abs(-0.10565293--0.10584467)×6.42904458301174e-05×R²
    0.000191739999999996×6.42904458301174e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.42904458301174e-05×40589641000000     		ar = 192622.064701898m²