Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15831 / 7605
↖ ↑ ↗
← N 68.954446°
W  6.075439°		 ← 438.70 m → N 68.954446°
W  6.064453°		 →
↑
438.71 m
↓
↑
438.71 m
↓
N 68.950500°
W  6.075439°		 ← 438.78 m →
192 479 m²		 N 68.950500°
W  6.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483139038085938 y=0.232101440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483139038085938 × 215)
    floor (0.483139038085938 × 32768)
    floor (15831.5)     		tx = 15831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232101440429688 × 215)
    floor (0.232101440429688 × 32768)
    floor (7605.5)     		ty = 7605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15831 / 7605 ti = "15/15831/7605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15831/7605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15831 ÷ 215
    15831 ÷ 32768     		x = 0.483123779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7605 ÷ 215
    7605 ÷ 32768     		y = 0.232086181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483123779296875 × 2 - 1) × π
    -0.03375244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10603642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232086181640625 × 2 - 1) × π
    0.53582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68335216705789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10603642} λ = -0.10603642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68335216705789))-π/2
    2×atan(5.38357239124976)-π/2
    2×1.38713922080927-π/2
    2.77427844161853-1.57079632675     		φ = 1.20348211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10603642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.075439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20348211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.954446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15831 KachelY 7605 -0.10603642 1.20348211 -6.075439 68.954446
    Oben rechts KachelX + 1 15832 KachelY 7605 -0.10584467 1.20348211 -6.064453 68.954446
    Unten links KachelX 15831 KachelY + 1 7606 -0.10603642 1.20341325 -6.075439 68.950500
    Unten rechts KachelX + 1 15832 KachelY + 1 7606 -0.10584467 1.20341325 -6.064453 68.950500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20348211-1.20341325) × R
    6.88599999998374e-05 × 6371000     		dl = 438.707059998964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20348211-1.20341325) × R
    6.88599999998374e-05 × 6371000     		dr = 438.707059998964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10603642--0.10584467) × cos(1.20348211) × R
    0.000191750000000004 × 0.359110101605638 × 6371000     		do = 438.702995192945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10603642--0.10584467) × cos(1.20341325) × R
    0.000191750000000004 × 0.359174367461832 × 6371000     		du = 438.781504885307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20348211)-sin(1.20341325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359110101605638-0.359174367461832)×R²
    abs(-0.10584467--0.10603642)×6.42658561939569e-05×R²
    0.000191750000000004×6.42658561939569e-05×6371000²
    0.000191750000000004×6.42658561939569e-05×40589641000000     		ar = 192479.322687602m²