Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15830 / 9751
↖ ↑ ↗
← N 58.682648°
W  6.086426°		 ← 634.98 m → N 58.682648°
W  6.075439°		 →
↑
635 m
↓
↑
635 m
↓
N 58.676938°
W  6.086426°		 ← 635.09 m →
403 244 m²		 N 58.676938°
W  6.075439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483108520507812 y=0.297592163085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483108520507812 × 215)
    floor (0.483108520507812 × 32768)
    floor (15830.5)     		tx = 15830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297592163085938 × 215)
    floor (0.297592163085938 × 32768)
    floor (9751.5)     		ty = 9751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15830 / 9751 ti = "15/15830/9751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15830/9751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15830 ÷ 215
    15830 ÷ 32768     		x = 0.48309326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9751 ÷ 215
    9751 ÷ 32768     		y = 0.297576904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48309326171875 × 2 - 1) × π
    -0.0338134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10622817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297576904296875 × 2 - 1) × π
    0.40484619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27186182071933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10622817} λ = -0.10622817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27186182071933))-π/2
    2×atan(3.56748840689416)-π/2
    2×1.2975008792342-π/2
    2.5950017584684-1.57079632675     		φ = 1.02420543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10622817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.086426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02420543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.682648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15830 KachelY 9751 -0.10622817 1.02420543 -6.086426 58.682648
    Oben rechts KachelX + 1 15831 KachelY 9751 -0.10603642 1.02420543 -6.075439 58.682648
    Unten links KachelX 15830 KachelY + 1 9752 -0.10622817 1.02410576 -6.086426 58.676938
    Unten rechts KachelX + 1 15831 KachelY + 1 9752 -0.10603642 1.02410576 -6.075439 58.676938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02420543-1.02410576) × R
    9.96699999999962e-05 × 6371000     		dl = 634.997569999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02420543-1.02410576) × R
    9.96699999999962e-05 × 6371000     		dr = 634.997569999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10622817--0.10603642) × cos(1.02420543) × R
    0.000191749999999991 × 0.519777853151117 × 6371000     		do = 634.98102669011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10622817--0.10603642) × cos(1.02410576) × R
    0.000191749999999991 × 0.51986299879566 × 6371000     		du = 635.08504395145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02420543)-sin(1.02410576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519777853151117-0.51986299879566)×R²
    abs(-0.10603642--0.10622817)×8.51456445432053e-05×R²
    0.000191749999999991×8.51456445432053e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.51456445432053e-05×40589641000000     		ar = 403244.434632794m²