Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1583 / 1530
↖ ↑ ↗
← S 66.089364°
E 98.261719°		 ← 7 922.20 m → S 66.089364°
E 98.437500°		 →
↑
7 911.06 m
↓
↑
7 911.06 m
↓
S 66.160510°
E 98.261719°		 ← 7 900.01 m →
62 585 261 m²		 S 66.160510°
E 98.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773193359375 y=0.747314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773193359375 × 211)
    floor (0.773193359375 × 2048)
    floor (1583.5)     		tx = 1583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747314453125 × 211)
    floor (0.747314453125 × 2048)
    floor (1530.5)     		ty = 1530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1583 / 1530 ti = "11/1583/1530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1583/1530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1583 ÷ 211
    1583 ÷ 2048     		x = 0.77294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1530 ÷ 211
    1530 ÷ 2048     		y = 0.7470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77294921875 × 2 - 1) × π
    0.5458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71499052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7470703125 × 2 - 1) × π
    -0.494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5523885572959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71499052} λ = 1.71499052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5523885572959))-π/2
    2×atan(0.211741612357751)-π/2
    2×0.208659659871632-π/2
    0.417319319743264-1.57079632675     		φ = -1.15347701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71499052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15347701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.089364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1583 KachelY 1530 1.71499052 -1.15347701 98.261719 -66.089364
    Oben rechts KachelX + 1 1584 KachelY 1530 1.71805848 -1.15347701 98.437500 -66.089364
    Unten links KachelX 1583 KachelY + 1 1531 1.71499052 -1.15471874 98.261719 -66.160510
    Unten rechts KachelX + 1 1584 KachelY + 1 1531 1.71805848 -1.15471874 98.437500 -66.160510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15347701--1.15471874) × R
    0.00124173000000005 × 6371000     		dl = 7911.06183000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15347701--1.15471874) × R
    0.00124173000000005 × 6371000     		dr = 7911.06183000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71499052-1.71805848) × cos(-1.15347701) × R
    0.00306796000000009 × 0.405311288708903 × 6371000     		do = 7922.20357054947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71499052-1.71805848) × cos(-1.15471874) × R
    0.00306796000000009 × 0.40417581336684 × 6371000     		du = 7900.00959998966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15347701)-sin(-1.15471874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405311288708903-0.40417581336684)×R²
    abs(1.71805848-1.71499052)×0.00113547534206287×R²
    0.00306796000000009×0.00113547534206287×6371000²
    0.00306796000000009×0.00113547534206287×40589641000000     		ar = 62585261.3814398m²