Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15828 / 19148
↖ ↑ ↗
← S 29.036961°
W  6.108398°		 ← 1 068.03 m → S 29.036961°
W  6.097412°		 →
↑
1 068.03 m
↓
↑
1 068.03 m
↓
S 29.046566°
W  6.108398°		 ← 1 067.93 m →
1 140 642 m²		 S 29.046566°
W  6.097412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483047485351562 y=0.584365844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483047485351562 × 215)
    floor (0.483047485351562 × 32768)
    floor (15828.5)     		tx = 15828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584365844726562 × 215)
    floor (0.584365844726562 × 32768)
    floor (19148.5)     		ty = 19148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15828 / 19148 ti = "15/15828/19148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15828/19148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15828 ÷ 215
    15828 ÷ 32768     		x = 0.4830322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19148 ÷ 215
    19148 ÷ 32768     		y = 0.5843505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4830322265625 × 2 - 1) × π
    -0.033935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10661166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5843505859375 × 2 - 1) × π
    -0.168701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.529990362199341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10661166} λ = -0.10661166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.529990362199341))-π/2
    2×atan(0.588610642563057)-π/2
    2×0.532002879359386-π/2
    1.06400575871877-1.57079632675     		φ = -0.50679057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10661166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.108398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50679057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.036961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15828 KachelY 19148 -0.10661166 -0.50679057 -6.108398 -29.036961
    Oben rechts KachelX + 1 15829 KachelY 19148 -0.10641992 -0.50679057 -6.097412 -29.036961
    Unten links KachelX 15828 KachelY + 1 19149 -0.10661166 -0.50695821 -6.108398 -29.046566
    Unten rechts KachelX + 1 15829 KachelY + 1 19149 -0.10641992 -0.50695821 -6.097412 -29.046566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50679057--0.50695821) × R
    0.000167639999999913 × 6371000     		dl = 1068.03443999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50679057--0.50695821) × R
    0.000167639999999913 × 6371000     		dr = 1068.03443999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10661166--0.10641992) × cos(-0.50679057) × R
    0.000191739999999996 × 0.874306780834714 × 6371000     		do = 1068.0317779238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10661166--0.10641992) × cos(-0.50695821) × R
    0.000191739999999996 × 0.874225400498429 × 6371000     		du = 1067.93236569556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50679057)-sin(-0.50695821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874306780834714-0.874225400498429)×R²
    abs(-0.10641992--0.10661166)×8.13803362851306e-05×R²
    0.000191739999999996×8.13803362851306e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.13803362851306e-05×40589641000000     		ar = 1140641.63666561m²