Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15826 / 19308
↖ ↑ ↗
← S 30.562261°
W  6.130371°		 ← 1 051.93 m → S 30.562261°
W  6.119385°		 →
↑
1 051.85 m
↓
↑
1 051.85 m
↓
S 30.571720°
W  6.130371°		 ← 1 051.82 m →
1 106 416 m²		 S 30.571720°
W  6.119385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482986450195312 y=0.589248657226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482986450195312 × 215)
    floor (0.482986450195312 × 32768)
    floor (15826.5)     		tx = 15826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589248657226562 × 215)
    floor (0.589248657226562 × 32768)
    floor (19308.5)     		ty = 19308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15826 / 19308 ti = "15/15826/19308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15826/19308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15826 ÷ 215
    15826 ÷ 32768     		x = 0.48297119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19308 ÷ 215
    19308 ÷ 32768     		y = 0.5892333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48297119140625 × 2 - 1) × π
    -0.0340576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10699516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5892333984375 × 2 - 1) × π
    -0.178466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.560669977956177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10699516} λ = -0.10699516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560669977956177))-π/2
    2×atan(0.57082649453848)-π/2
    2×0.518692123184394-π/2
    1.03738424636879-1.57079632675     		φ = -0.53341208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10699516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.130371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53341208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.562261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15826 KachelY 19308 -0.10699516 -0.53341208 -6.130371 -30.562261
    Oben rechts KachelX + 1 15827 KachelY 19308 -0.10680341 -0.53341208 -6.119385 -30.562261
    Unten links KachelX 15826 KachelY + 1 19309 -0.10699516 -0.53357718 -6.130371 -30.571720
    Unten rechts KachelX + 1 15827 KachelY + 1 19309 -0.10680341 -0.53357718 -6.119385 -30.571720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53341208--0.53357718) × R
    0.000165100000000029 × 6371000     		dl = 1051.85210000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53341208--0.53357718) × R
    0.000165100000000029 × 6371000     		dr = 1051.85210000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10699516--0.10680341) × cos(-0.53341208) × R
    0.000191750000000004 × 0.861077131138744 × 6371000     		do = 1051.92562067651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10699516--0.10680341) × cos(-0.53357718) × R
    0.000191750000000004 × 0.860993170286754 × 6371000     		du = 1051.82305080426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53341208)-sin(-0.53357718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861077131138744-0.860993170286754)×R²
    abs(-0.10680341--0.10699516)×8.39608519902502e-05×R²
    0.000191750000000004×8.39608519902502e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.39608519902502e-05×40589641000000     		ar = 1106416.23149766m²