Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15823 / 6799
↖ ↑ ↗
← N 71.914299°
W  6.163330°		 ← 379.22 m → N 71.914299°
W  6.152344°		 →
↑
379.27 m
↓
↑
379.27 m
↓
N 71.910888°
W  6.163330°		 ← 379.29 m →
143 840 m²		 N 71.910888°
W  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482894897460938 y=0.207504272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482894897460938 × 215)
    floor (0.482894897460938 × 32768)
    floor (15823.5)     		tx = 15823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207504272460938 × 215)
    floor (0.207504272460938 × 32768)
    floor (6799.5)     		ty = 6799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15823 / 6799 ti = "15/15823/6799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15823/6799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15823 ÷ 215
    15823 ÷ 32768     		x = 0.482879638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6799 ÷ 215
    6799 ÷ 32768     		y = 0.207489013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482879638671875 × 2 - 1) × π
    -0.03424072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10757040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207489013671875 × 2 - 1) × π
    0.58502197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83790073143295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10757040} λ = -0.10757040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83790073143295))-π/2
    2×atan(6.28333400066762)-π/2
    2×1.41296880982366-π/2
    2.82593761964731-1.57079632675     		φ = 1.25514129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10757040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.163330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25514129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.914299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15823 KachelY 6799 -0.10757040 1.25514129 -6.163330 71.914299
    Oben rechts KachelX + 1 15824 KachelY 6799 -0.10737866 1.25514129 -6.152344 71.914299
    Unten links KachelX 15823 KachelY + 1 6800 -0.10757040 1.25508176 -6.163330 71.910888
    Unten rechts KachelX + 1 15824 KachelY + 1 6800 -0.10737866 1.25508176 -6.152344 71.910888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25514129-1.25508176) × R
    5.95300000001409e-05 × 6371000     		dl = 379.265630000897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25514129-1.25508176) × R
    5.95300000001409e-05 × 6371000     		dr = 379.265630000897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10757040--0.10737866) × cos(1.25514129) × R
    0.000191739999999996 × 0.310439211328737 × 6371000     		do = 379.224947216068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10757040--0.10737866) × cos(1.25508176) × R
    0.000191739999999996 × 0.310495799593839 × 6371000     		du = 379.294074056568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25514129)-sin(1.25508176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310439211328737-0.310495799593839)×R²
    abs(-0.10737866--0.10757040)×5.6588265101909e-05×R²
    0.000191739999999996×5.6588265101909e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.6588265101909e-05×40589641000000     		ar = 143840.097277883m²