Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15822 / 19309
↖ ↑ ↗
← S 30.571720°
W  6.174316°		 ← 1 051.82 m → S 30.571720°
W  6.163330°		 →
↑
1 051.79 m
↓
↑
1 051.79 m
↓
S 30.581179°
W  6.174316°		 ← 1 051.72 m →
1 106 241 m²		 S 30.581179°
W  6.163330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482864379882812 y=0.589279174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482864379882812 × 215)
    floor (0.482864379882812 × 32768)
    floor (15822.5)     		tx = 15822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589279174804688 × 215)
    floor (0.589279174804688 × 32768)
    floor (19309.5)     		ty = 19309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15822 / 19309 ti = "15/15822/19309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15822/19309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15822 ÷ 215
    15822 ÷ 32768     		x = 0.48284912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19309 ÷ 215
    19309 ÷ 32768     		y = 0.589263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48284912109375 × 2 - 1) × π
    -0.0343017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10776215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589263916015625 × 2 - 1) × π
    -0.17852783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.560861725554657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10776215} λ = -0.10776215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560861725554657))-π/2
    2×atan(0.570717050422162)-π/2
    2×0.51860957247315-π/2
    1.0372191449463-1.57079632675     		φ = -0.53357718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10776215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.174316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53357718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.571720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15822 KachelY 19309 -0.10776215 -0.53357718 -6.174316 -30.571720
    Oben rechts KachelX + 1 15823 KachelY 19309 -0.10757040 -0.53357718 -6.163330 -30.571720
    Unten links KachelX 15822 KachelY + 1 19310 -0.10776215 -0.53374227 -6.174316 -30.581179
    Unten rechts KachelX + 1 15823 KachelY + 1 19310 -0.10757040 -0.53374227 -6.163330 -30.581179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53357718--0.53374227) × R
    0.000165089999999979 × 6371000     		dl = 1051.78838999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53357718--0.53374227) × R
    0.000165089999999979 × 6371000     		dr = 1051.78838999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10776215--0.10757040) × cos(-0.53357718) × R
    0.000191750000000004 × 0.860993170286754 × 6371000     		do = 1051.82305080426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10776215--0.10757040) × cos(-0.53374227) × R
    0.000191750000000004 × 0.86090919105339 × 6371000     		du = 1051.72045847659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53357718)-sin(-0.53374227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860993170286754-0.86090919105339)×R²
    abs(-0.10757040--0.10776215)×8.39792333640066e-05×R²
    0.000191750000000004×8.39792333640066e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.39792333640066e-05×40589641000000     		ar = 1106241.32297314m²