Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15818 / 19158
↖ ↑ ↗
← S 29.132970°
W  6.218262°		 ← 1 067.09 m → S 29.132970°
W  6.207275°		 →
↑
1 067.02 m
↓
↑
1 067.02 m
↓
S 29.142566°
W  6.218262°		 ← 1 066.99 m →
1 138 551 m²		 S 29.142566°
W  6.207275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482742309570312 y=0.584671020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482742309570312 × 215)
    floor (0.482742309570312 × 32768)
    floor (15818.5)     		tx = 15818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584671020507812 × 215)
    floor (0.584671020507812 × 32768)
    floor (19158.5)     		ty = 19158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15818 / 19158 ti = "15/15818/19158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15818/19158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15818 ÷ 215
    15818 ÷ 32768     		x = 0.48272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19158 ÷ 215
    19158 ÷ 32768     		y = 0.58465576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48272705078125 × 2 - 1) × π
    -0.0345458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10852914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1693115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.531907838184143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10852914} λ = -0.10852914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531907838184143))-π/2
    2×atan(0.587483077176796)-π/2
    2×0.53116503856959-π/2
    1.06233007713918-1.57079632675     		φ = -0.50846625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10852914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.218262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50846625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.132970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15818 KachelY 19158 -0.10852914 -0.50846625 -6.218262 -29.132970
    Oben rechts KachelX + 1 15819 KachelY 19158 -0.10833739 -0.50846625 -6.207275 -29.132970
    Unten links KachelX 15818 KachelY + 1 19159 -0.10852914 -0.50863373 -6.218262 -29.142566
    Unten rechts KachelX + 1 15819 KachelY + 1 19159 -0.10833739 -0.50863373 -6.207275 -29.142566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50846625--0.50863373) × R
    0.000167479999999998 × 6371000     		dl = 1067.01507999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50846625--0.50863373) × R
    0.000167479999999998 × 6371000     		dr = 1067.01507999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10852914--0.10833739) × cos(-0.50846625) × R
    0.000191749999999991 × 0.873492222687487 × 6371000     		do = 1067.09238380472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10852914--0.10833739) × cos(-0.50863373) × R
    0.000191749999999991 × 0.873410674792126 × 6371000     		du = 1066.99276169499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50846625)-sin(-0.50863373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873492222687487-0.873410674792126)×R²
    abs(-0.10833739--0.10852914)×8.15478953611892e-05×R²
    0.000191749999999991×8.15478953611892e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.15478953611892e-05×40589641000000     		ar = 1138550.51878754m²