Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15817 / 21692
↖ ↑ ↗
← N 76.061155°
W136.557312°		 ← 73.56 m → N 76.061155°
W136.554566°		 →
↑
73.59 m
↓
↑
73.59 m
↓
N 76.060493°
W136.557312°		 ← 73.56 m →
5 413 m²		 N 76.060493°
W136.554566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120677947998047 y=0.165500640869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120677947998047 × 217)
    floor (0.120677947998047 × 131072)
    floor (15817.5)     		tx = 15817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165500640869141 × 217)
    floor (0.165500640869141 × 131072)
    floor (21692.5)     		ty = 21692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15817 / 21692 ti = "17/15817/21692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15817/21692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15817 ÷ 217
    15817 ÷ 131072     		x = 0.120674133300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21692 ÷ 217
    21692 ÷ 131072     		y = 0.165496826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.120674133300781 × 2 - 1) × π
    -0.758651733398438 × 3.1415926535     		Λ = -2.38337471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165496826171875 × 2 - 1) × π
    0.66900634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10174542694174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38337471} λ = -2.38337471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10174542694174))-π/2
    2×atan(8.18043581196469)-π/2
    2×1.44915695386785-π/2
    2.8983139077357-1.57079632675     		φ = 1.32751758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38337471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.557312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32751758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.061155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15817 KachelY 21692 -2.38337471 1.32751758 -136.557312 76.061155
    Oben rechts KachelX + 1 15818 KachelY 21692 -2.38332678 1.32751758 -136.554566 76.061155
    Unten links KachelX 15817 KachelY + 1 21693 -2.38337471 1.32750603 -136.557312 76.060493
    Unten rechts KachelX + 1 15818 KachelY + 1 21693 -2.38332678 1.32750603 -136.554566 76.060493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32751758-1.32750603) × R
    1.15500000001934e-05 × 6371000     		dl = 73.5850500012318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32751758-1.32750603) × R
    1.15500000001934e-05 × 6371000     		dr = 73.5850500012318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38337471--2.38332678) × cos(1.32751758) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.24088611432087 × 6371000     		do = 73.557472867878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38337471--2.38332678) × cos(1.32750603) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.24089732419644 × 6371000     		du = 73.560895938238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32751758)-sin(1.32750603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24088611432087-0.24089732419644)×R²
    abs(-2.38332678--2.38337471)×1.12098755697121e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.12098755697121e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.12098755697121e-05×40589641000000     		ar = 5412.85626252238m²