Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15815 / 9747
↖ ↑ ↗
← N 58.705483°
W  6.251221°		 ← 634.53 m → N 58.705483°
W  6.240235°		 →
↑
634.62 m
↓
↑
634.62 m
↓
N 58.699776°
W  6.251221°		 ← 634.64 m →
402 717 m²		 N 58.699776°
W  6.240235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482650756835938 y=0.297470092773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482650756835938 × 215)
    floor (0.482650756835938 × 32768)
    floor (15815.5)     		tx = 15815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297470092773438 × 215)
    floor (0.297470092773438 × 32768)
    floor (9747.5)     		ty = 9747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15815 / 9747 ti = "15/15815/9747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15815/9747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15815 ÷ 215
    15815 ÷ 32768     		x = 0.482635498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9747 ÷ 215
    9747 ÷ 32768     		y = 0.297454833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482635498046875 × 2 - 1) × π
    -0.03472900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10910438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297454833984375 × 2 - 1) × π
    0.40509033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27262881111325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10910438} λ = -0.10910438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27262881111325))-π/2
    2×atan(3.57022568583181)-π/2
    2×1.29770014624746-π/2
    2.59540029249491-1.57079632675     		φ = 1.02460397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10910438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.251221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02460397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.705483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15815 KachelY 9747 -0.10910438 1.02460397 -6.251221 58.705483
    Oben rechts KachelX + 1 15816 KachelY 9747 -0.10891264 1.02460397 -6.240235 58.705483
    Unten links KachelX 15815 KachelY + 1 9748 -0.10910438 1.02450436 -6.251221 58.699776
    Unten rechts KachelX + 1 15816 KachelY + 1 9748 -0.10891264 1.02450436 -6.240235 58.699776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02460397-1.02450436) × R
    9.96100000001388e-05 × 6371000     		dl = 634.615310000884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02460397-1.02450436) × R
    9.96100000001388e-05 × 6371000     		dr = 634.615310000884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10910438--0.10891264) × cos(1.02460397) × R
    0.000191739999999996 × 0.519437338577307 × 6371000     		do = 634.531947368723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10910438--0.10891264) × cos(1.02450436) × R
    0.000191739999999996 × 0.519522453596238 × 6371000     		du = 634.635921793936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02460397)-sin(1.02450436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519437338577307-0.519522453596238)×R²
    abs(-0.10891264--0.10910438)×8.51150189312699e-05×R²
    0.000191739999999996×8.51150189312699e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.51150189312699e-05×40589641000000     		ar = 402716.680699093m²