Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15815 / 19193
↖ ↑ ↗
← S 29.468297°
W  6.251221°		 ← 1 063.54 m → S 29.468297°
W  6.240235°		 →
↑
1 063.51 m
↓
↑
1 063.51 m
↓
S 29.477861°
W  6.251221°		 ← 1 063.44 m →
1 131 031 m²		 S 29.477861°
W  6.240235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482650756835938 y=0.585739135742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482650756835938 × 215)
    floor (0.482650756835938 × 32768)
    floor (15815.5)     		tx = 15815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585739135742188 × 215)
    floor (0.585739135742188 × 32768)
    floor (19193.5)     		ty = 19193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15815 / 19193 ti = "15/15815/19193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15815/19193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15815 ÷ 215
    15815 ÷ 32768     		x = 0.482635498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19193 ÷ 215
    19193 ÷ 32768     		y = 0.585723876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482635498046875 × 2 - 1) × π
    -0.03472900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10910438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585723876953125 × 2 - 1) × π
    -0.17144775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.538619004130951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10910438} λ = -0.10910438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.538619004130951))-π/2
    2×atan(0.583553581253151)-π/2
    2×0.528238762728008-π/2
    1.05647752545602-1.57079632675     		φ = -0.51431880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10910438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.251221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51431880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.468297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15815 KachelY 19193 -0.10910438 -0.51431880 -6.251221 -29.468297
    Oben rechts KachelX + 1 15816 KachelY 19193 -0.10891264 -0.51431880 -6.240235 -29.468297
    Unten links KachelX 15815 KachelY + 1 19194 -0.10910438 -0.51448573 -6.251221 -29.477861
    Unten rechts KachelX + 1 15816 KachelY + 1 19194 -0.10891264 -0.51448573 -6.240235 -29.477861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51431880--0.51448573) × R
    0.00016693000000001 × 6371000     		dl = 1063.51103000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51431880--0.51448573) × R
    0.00016693000000001 × 6371000     		dr = 1063.51103000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10910438--0.10891264) × cos(-0.51431880) × R
    0.000191739999999996 × 0.870628035088825 × 6371000     		do = 1063.53791210275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10910438--0.10891264) × cos(-0.51448573) × R
    0.000191739999999996 × 0.870545903098978 × 6371000     		du = 1063.4375816729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51431880)-sin(-0.51448573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870628035088825-0.870545903098978)×R²
    abs(-0.10891264--0.10910438)×8.21319898476336e-05×R²
    0.000191739999999996×8.21319898476336e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.21319898476336e-05×40589641000000     		ar = 1131030.95171167m²