Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15814 / 9741
↖ ↑ ↗
← N 58.739706°
W  6.262207°		 ← 633.94 m → N 58.739706°
W  6.251221°		 →
↑
633.98 m
↓
↑
633.98 m
↓
N 58.734005°
W  6.262207°		 ← 634.05 m →
401 938 m²		 N 58.734005°
W  6.251221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482620239257812 y=0.297286987304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482620239257812 × 215)
    floor (0.482620239257812 × 32768)
    floor (15814.5)     		tx = 15814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297286987304688 × 215)
    floor (0.297286987304688 × 32768)
    floor (9741.5)     		ty = 9741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15814 / 9741 ti = "15/15814/9741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15814/9741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15814 ÷ 215
    15814 ÷ 32768     		x = 0.48260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9741 ÷ 215
    9741 ÷ 32768     		y = 0.297271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48260498046875 × 2 - 1) × π
    -0.0347900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10929613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297271728515625 × 2 - 1) × π
    0.40545654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27377929670413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10929613} λ = -0.10929613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27377929670413))-π/2
    2×atan(3.57433554275181)-π/2
    2×1.29799880199025-π/2
    2.5959976039805-1.57079632675     		φ = 1.02520128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10929613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.262207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02520128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.739706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15814 KachelY 9741 -0.10929613 1.02520128 -6.262207 58.739706
    Oben rechts KachelX + 1 15815 KachelY 9741 -0.10910438 1.02520128 -6.251221 58.739706
    Unten links KachelX 15814 KachelY + 1 9742 -0.10929613 1.02510177 -6.262207 58.734005
    Unten rechts KachelX + 1 15815 KachelY + 1 9742 -0.10910438 1.02510177 -6.251221 58.734005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02520128-1.02510177) × R
    9.95100000000804e-05 × 6371000     		dl = 633.978210000512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02520128-1.02510177) × R
    9.95100000000804e-05 × 6371000     		dr = 633.978210000512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10929613--0.10910438) × cos(1.02520128) × R
    0.000191750000000004 × 0.518926839447182 × 6371000     		do = 633.94139494714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10929613--0.10910438) × cos(1.02510177) × R
    0.000191750000000004 × 0.519011899882269 × 6371000     		du = 634.045308113265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02520128)-sin(1.02510177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518926839447182-0.519011899882269)×R²
    abs(-0.10910438--0.10929613)×8.50604350872697e-05×R²
    0.000191750000000004×8.50604350872697e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.50604350872697e-05×40589641000000     		ar = 401937.970486736m²