Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15813 / 6845
↖ ↑ ↗
← N 71.756752°
W  6.273193°		 ← 382.44 m → N 71.756752°
W  6.262207°		 →
↑
382.45 m
↓
↑
382.45 m
↓
N 71.753313°
W  6.273193°		 ← 382.51 m →
146 277 m²		 N 71.753313°
W  6.262207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482589721679688 y=0.208908081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482589721679688 × 215)
    floor (0.482589721679688 × 32768)
    floor (15813.5)     		tx = 15813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208908081054688 × 215)
    floor (0.208908081054688 × 32768)
    floor (6845.5)     		ty = 6845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15813 / 6845 ti = "15/15813/6845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15813/6845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15813 ÷ 215
    15813 ÷ 32768     		x = 0.482574462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6845 ÷ 215
    6845 ÷ 32768     		y = 0.208892822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482574462890625 × 2 - 1) × π
    -0.03485107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10948788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208892822265625 × 2 - 1) × π
    0.58221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82908034190286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10948788} λ = -0.10948788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82908034190286))-π/2
    2×atan(6.22815624959494)-π/2
    2×1.41159395843583-π/2
    2.82318791687166-1.57079632675     		φ = 1.25239159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10948788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.273193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25239159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.756752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15813 KachelY 6845 -0.10948788 1.25239159 -6.273193 71.756752
    Oben rechts KachelX + 1 15814 KachelY 6845 -0.10929613 1.25239159 -6.262207 71.756752
    Unten links KachelX 15813 KachelY + 1 6846 -0.10948788 1.25233156 -6.273193 71.753313
    Unten rechts KachelX + 1 15814 KachelY + 1 6846 -0.10929613 1.25233156 -6.262207 71.753313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25239159-1.25233156) × R
    6.00299999999887e-05 × 6371000     		dl = 382.451129999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25239159-1.25233156) × R
    6.00299999999887e-05 × 6371000     		dr = 382.451129999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10948788--0.10929613) × cos(1.25239159) × R
    0.000191749999999991 × 0.313051880658361 × 6371000     		do = 382.436464698551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10948788--0.10929613) × cos(1.25233156) × R
    0.000191749999999991 × 0.31310889274794 × 6371000     		du = 382.506112904905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25239159)-sin(1.25233156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313051880658361-0.31310889274794)×R²
    abs(-0.10929613--0.10948788)×5.70120895790338e-05×R²
    0.000191749999999991×5.70120895790338e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.70120895790338e-05×40589641000000     		ar = 146276.57663887m²