Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15813 / 19363
↖ ↑ ↗
← S 31.081165°
W  6.273193°		 ← 1 046.26 m → S 31.081165°
W  6.262207°		 →
↑
1 046.18 m
↓
↑
1 046.18 m
↓
S 31.090574°
W  6.273193°		 ← 1 046.15 m →
1 094 521 m²		 S 31.090574°
W  6.262207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482589721679688 y=0.590927124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482589721679688 × 215)
    floor (0.482589721679688 × 32768)
    floor (15813.5)     		tx = 15813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590927124023438 × 215)
    floor (0.590927124023438 × 32768)
    floor (19363.5)     		ty = 19363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15813 / 19363 ti = "15/15813/19363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15813/19363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15813 ÷ 215
    15813 ÷ 32768     		x = 0.482574462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19363 ÷ 215
    19363 ÷ 32768     		y = 0.590911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482574462890625 × 2 - 1) × π
    -0.03485107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10948788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.18182373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.571216095872589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10948788} λ = -0.10948788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.571216095872589))-π/2
    2×atan(0.564838123552952)-π/2
    2×0.51416382704731-π/2
    1.02832765409462-1.57079632675     		φ = -0.54246867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10948788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.273193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54246867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.081165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15813 KachelY 19363 -0.10948788 -0.54246867 -6.273193 -31.081165
    Oben rechts KachelX + 1 15814 KachelY 19363 -0.10929613 -0.54246867 -6.262207 -31.081165
    Unten links KachelX 15813 KachelY + 1 19364 -0.10948788 -0.54263288 -6.273193 -31.090574
    Unten rechts KachelX + 1 15814 KachelY + 1 19364 -0.10929613 -0.54263288 -6.262207 -31.090574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54246867--0.54263288) × R
    0.000164209999999998 × 6371000     		dl = 1046.18190999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54246867--0.54263288) × R
    0.000164209999999998 × 6371000     		dr = 1046.18190999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10948788--0.10929613) × cos(-0.54246867) × R
    0.000191749999999991 × 0.856436836975277 × 6371000     		do = 1046.2568551948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10948788--0.10929613) × cos(-0.54263288) × R
    0.000191749999999991 × 0.856352051717002 × 6371000     		du = 1046.15327819547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54246867)-sin(-0.54263288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856436836975277-0.856352051717002)×R²
    abs(-0.10929613--0.10948788)×8.47852582748221e-05×R²
    0.000191749999999991×8.47852582748221e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.47852582748221e-05×40589641000000     		ar = 1094520.81738659m²