Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15812 / 9740
↖ ↑ ↗
← N 58.745407°
W  6.284180°		 ← 633.84 m → N 58.745407°
W  6.273193°		 →
↑
633.85 m
↓
↑
633.85 m
↓
N 58.739706°
W  6.284180°		 ← 633.94 m →
401 791 m²		 N 58.739706°
W  6.273193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482559204101562 y=0.297256469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482559204101562 × 215)
    floor (0.482559204101562 × 32768)
    floor (15812.5)     		tx = 15812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297256469726562 × 215)
    floor (0.297256469726562 × 32768)
    floor (9740.5)     		ty = 9740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15812 / 9740 ti = "15/15812/9740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15812/9740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15812 ÷ 215
    15812 ÷ 32768     		x = 0.4825439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9740 ÷ 215
    9740 ÷ 32768     		y = 0.2972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4825439453125 × 2 - 1) × π
    -0.034912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10967963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2972412109375 × 2 - 1) × π
    0.405517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27397104430261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10967963} λ = -0.10967963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27397104430261))-π/2
    2×atan(3.57502097872155)-π/2
    2×1.29804854940088-π/2
    2.59609709880175-1.57079632675     		φ = 1.02530077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10967963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02530077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.745407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15812 KachelY 9740 -0.10967963 1.02530077 -6.284180 58.745407
    Oben rechts KachelX + 1 15813 KachelY 9740 -0.10948788 1.02530077 -6.273193 58.745407
    Unten links KachelX 15812 KachelY + 1 9741 -0.10967963 1.02520128 -6.284180 58.739706
    Unten rechts KachelX + 1 15813 KachelY + 1 9741 -0.10948788 1.02520128 -6.273193 58.739706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02530077-1.02520128) × R
    9.94899999999799e-05 × 6371000     		dl = 633.850789999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02530077-1.02520128) × R
    9.94899999999799e-05 × 6371000     		dr = 633.850789999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10967963--0.10948788) × cos(1.02530077) × R
    0.000191750000000004 × 0.518841790970962 × 6371000     		do = 633.837496390437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10967963--0.10948788) × cos(1.02520128) × R
    0.000191750000000004 × 0.518926839447182 × 6371000     		du = 633.94139494714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02530077)-sin(1.02520128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518841790970962-0.518926839447182)×R²
    abs(-0.10948788--0.10967963)×8.50484762197068e-05×R²
    0.000191750000000004×8.50484762197068e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.50484762197068e-05×40589641000000     		ar = 401791.326240774m²