Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15810 / 21704
↖ ↑ ↗
← N 76.053213°
W136.576538°		 ← 73.61 m → N 76.053213°
W136.573791°		 →
↑
73.59 m
↓
↑
73.59 m
↓
N 76.052551°
W136.576538°		 ← 73.62 m →
5 417 m²		 N 76.052551°
W136.573791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120624542236328 y=0.165592193603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120624542236328 × 217)
    floor (0.120624542236328 × 131072)
    floor (15810.5)     		tx = 15810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165592193603516 × 217)
    floor (0.165592193603516 × 131072)
    floor (21704.5)     		ty = 21704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15810 / 21704 ti = "17/15810/21704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15810/21704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15810 ÷ 217
    15810 ÷ 131072     		x = 0.120620727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21704 ÷ 217
    21704 ÷ 131072     		y = 0.16558837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.120620727539062 × 2 - 1) × π
    -0.758758544921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.38371027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16558837890625 × 2 - 1) × π
    0.6688232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1011701841463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38371027} λ = -2.38371027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1011701841463))-π/2
    2×atan(8.1757314284114)-π/2
    2×1.44908765052308-π/2
    2.89817530104616-1.57079632675     		φ = 1.32737897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38371027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.576538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32737897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.053213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15810 KachelY 21704 -2.38371027 1.32737897 -136.576538 76.053213
    Oben rechts KachelX + 1 15811 KachelY 21704 -2.38366233 1.32737897 -136.573791 76.053213
    Unten links KachelX 15810 KachelY + 1 21705 -2.38371027 1.32736742 -136.576538 76.052551
    Unten rechts KachelX + 1 15811 KachelY + 1 21705 -2.38366233 1.32736742 -136.573791 76.052551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32737897-1.32736742) × R
    1.15499999999713e-05 × 6371000     		dl = 73.5850499998172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32737897-1.32736742) × R
    1.15499999999713e-05 × 6371000     		dr = 73.5850499998172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38371027--2.38366233) × cos(1.32737897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.241020640411579 × 6371000     		do = 73.6139074529322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38371027--2.38366233) × cos(1.32736742) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.241031849901386 × 6371000     		du = 73.6173311196516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32737897)-sin(1.32736742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241020640411579-0.241031849901386)×R²
    abs(-2.38366233--2.38371027)×1.12094898072901e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12094898072901e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12094898072901e-05×40589641000000     		ar = 5417.00902599041m²