Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15810 / 17345
↖ ↑ ↗
← N 78.664068°
W136.576538°		 ← 60.03 m → N 78.664068°
W136.573791°		 →
↑
60.08 m
↓
↑
60.08 m
↓
N 78.663528°
W136.576538°		 ← 60.04 m →
3 607 m²		 N 78.663528°
W136.573791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120624542236328 y=0.132335662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120624542236328 × 217)
    floor (0.120624542236328 × 131072)
    floor (15810.5)     		tx = 15810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132335662841797 × 217)
    floor (0.132335662841797 × 131072)
    floor (17345.5)     		ty = 17345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15810 / 17345 ti = "17/15810/17345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15810/17345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15810 ÷ 217
    15810 ÷ 131072     		x = 0.120620727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17345 ÷ 217
    17345 ÷ 131072     		y = 0.132331848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.120620727539062 × 2 - 1) × π
    -0.758758544921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.38371027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132331848144531 × 2 - 1) × π
    0.735336303710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.31012712959013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38371027} λ = -2.38371027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31012712959013))-π/2
    2×atan(10.0757054939053)-π/2
    2×1.47187165691981-π/2
    2.94374331383961-1.57079632675     		φ = 1.37294699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38371027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.576538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37294699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.664068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15810 KachelY 17345 -2.38371027 1.37294699 -136.576538 78.664068
    Oben rechts KachelX + 1 15811 KachelY 17345 -2.38366233 1.37294699 -136.573791 78.664068
    Unten links KachelX 15810 KachelY + 1 17346 -2.38371027 1.37293756 -136.576538 78.663528
    Unten rechts KachelX + 1 15811 KachelY + 1 17346 -2.38366233 1.37293756 -136.573791 78.663528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37294699-1.37293756) × R
    9.42999999997696e-06 × 6371000     		dl = 60.0785299998532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37294699-1.37293756) × R
    9.42999999997696e-06 × 6371000     		dr = 60.0785299998532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38371027--2.38366233) × cos(1.37294699) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196561079834789 × 6371000     		do = 60.0348132637001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38371027--2.38366233) × cos(1.37293756) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196570325861665 × 6371000     		du = 60.0376372383008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37294699)-sin(1.37293756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196561079834789-0.196570325861665)×R²
    abs(-2.38366233--2.38371027)×9.24602687621401e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.24602687621401e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.24602687621401e-06×40589641000000     		ar = 3606.88815977138m²