Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15808 / 16064
↖ ↑ ↗
← N 79.335219°
W136.582031°		 ← 56.51 m → N 79.335219°
W136.579285°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
N 79.334711°
W136.582031°		 ← 56.51 m →
3 194 m²		 N 79.334711°
W136.579285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120609283447266 y=0.122562408447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120609283447266 × 217)
    floor (0.120609283447266 × 131072)
    floor (15808.5)     		tx = 15808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122562408447266 × 217)
    floor (0.122562408447266 × 131072)
    floor (16064.5)     		ty = 16064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15808 / 16064 ti = "17/15808/16064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15808/16064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15808 ÷ 217
    15808 ÷ 131072     		x = 0.12060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16064 ÷ 217
    16064 ÷ 131072     		y = 0.12255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12060546875 × 2 - 1) × π
    -0.7587890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.38380614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12255859375 × 2 - 1) × π
    0.7548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37153429800342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38380614} λ = -2.38380614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37153429800342))-π/2
    2×atan(10.7138178693834)-π/2
    2×1.47772855764175-π/2
    2.9554571152835-1.57079632675     		φ = 1.38466079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38380614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38466079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.335219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15808 KachelY 16064 -2.38380614 1.38466079 -136.582031 79.335219
    Oben rechts KachelX + 1 15809 KachelY 16064 -2.38375821 1.38466079 -136.579285 79.335219
    Unten links KachelX 15808 KachelY + 1 16065 -2.38380614 1.38465192 -136.582031 79.334711
    Unten rechts KachelX + 1 15809 KachelY + 1 16065 -2.38375821 1.38465192 -136.579285 79.334711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38466079-1.38465192) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38466079-1.38465192) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38380614--2.38375821) × cos(1.38466079) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185062574973451 × 6371000     		do = 56.5110835709549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38380614--2.38375821) × cos(1.38465192) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185071291752345 × 6371000     		du = 56.513745344253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38466079)-sin(1.38465192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185062574973451-0.185071291752345)×R²
    abs(-2.38375821--2.38380614)×8.71677889388578e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.71677889388578e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.71677889388578e-06×40589641000000     		ar = 3193.56005542502m²