Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15807 / 19365
↖ ↑ ↗
← S 31.099982°
W  6.339111°		 ← 1 046 m → S 31.099982°
W  6.328125°		 →
↑
1 045.99 m
↓
↑
1 045.99 m
↓
S 31.109389°
W  6.339111°		 ← 1 045.89 m →
1 094 047 m²		 S 31.109389°
W  6.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482406616210938 y=0.590988159179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482406616210938 × 215)
    floor (0.482406616210938 × 32768)
    floor (15807.5)     		tx = 15807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590988159179688 × 215)
    floor (0.590988159179688 × 32768)
    floor (19365.5)     		ty = 19365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15807 / 19365 ti = "15/15807/19365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15807/19365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15807 ÷ 215
    15807 ÷ 32768     		x = 0.482391357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19365 ÷ 215
    19365 ÷ 32768     		y = 0.590972900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482391357421875 × 2 - 1) × π
    -0.03521728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11063836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590972900390625 × 2 - 1) × π
    -0.18194580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.57159959106955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11063836} λ = -0.11063836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.57159959106955))-π/2
    2×atan(0.564621552375167)-π/2
    2×0.513999623598833-π/2
    1.02799924719767-1.57079632675     		φ = -0.54279708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11063836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.339111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54279708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.099982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15807 KachelY 19365 -0.11063836 -0.54279708 -6.339111 -31.099982
    Oben rechts KachelX + 1 15808 KachelY 19365 -0.11044662 -0.54279708 -6.328125 -31.099982
    Unten links KachelX 15807 KachelY + 1 19366 -0.11063836 -0.54296126 -6.339111 -31.109389
    Unten rechts KachelX + 1 15808 KachelY + 1 19366 -0.11044662 -0.54296126 -6.328125 -31.109389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54279708--0.54296126) × R
    0.000164179999999958 × 6371000     		dl = 1045.99077999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54279708--0.54296126) × R
    0.000164179999999958 × 6371000     		dr = 1045.99077999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11063836--0.11044662) × cos(-0.54279708) × R
    0.00019174000000001 × 0.85626724853259 × 6371000     		do = 1045.99512651057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11063836--0.11044662) × cos(-0.54296126) × R
    0.00019174000000001 × 0.856182432595281 × 6371000     		du = 1045.89151743615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54279708)-sin(-0.54296126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85626724853259-0.856182432595281)×R²
    abs(-0.11044662--0.11063836)×8.4815937308691e-05×R²
    0.00019174000000001×8.4815937308691e-05×6371000²
    0.00019174000000001×8.4815937308691e-05×40589641000000     		ar = 1094047.07364368m²