Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15807 / 17482
↖ ↑ ↗
← N 78.589867°
W136.584778°		 ← 60.42 m → N 78.589867°
W136.582031°		 →
↑
60.46 m
↓
↑
60.46 m
↓
N 78.589323°
W136.584778°		 ← 60.43 m →
3 653 m²		 N 78.589323°
W136.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120601654052734 y=0.133380889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120601654052734 × 217)
    floor (0.120601654052734 × 131072)
    floor (15807.5)     		tx = 15807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133380889892578 × 217)
    floor (0.133380889892578 × 131072)
    floor (17482.5)     		ty = 17482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15807 / 17482 ti = "17/15807/17482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15807/17482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15807 ÷ 217
    15807 ÷ 131072     		x = 0.120597839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17482 ÷ 217
    17482 ÷ 131072     		y = 0.133377075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.120597839355469 × 2 - 1) × π
    -0.758804321289062 × 3.1415926535     		Λ = -2.38385408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133377075195312 × 2 - 1) × π
    0.733245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30355977434218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38385408} λ = -2.38385408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30355977434218))-π/2
    2×atan(10.0097515650436)-π/2
    2×1.47122413132299-π/2
    2.94244826264597-1.57079632675     		φ = 1.37165194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38385408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.584778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37165194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.589867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15807 KachelY 17482 -2.38385408 1.37165194 -136.584778 78.589867
    Oben rechts KachelX + 1 15808 KachelY 17482 -2.38380614 1.37165194 -136.582031 78.589867
    Unten links KachelX 15807 KachelY + 1 17483 -2.38385408 1.37164245 -136.584778 78.589323
    Unten rechts KachelX + 1 15808 KachelY + 1 17483 -2.38380614 1.37164245 -136.582031 78.589323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37165194-1.37164245) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dl = 60.4607900003593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37165194-1.37164245) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dr = 60.4607900003593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38385408--2.38380614) × cos(1.37165194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197830700271177 × 6371000     		do = 60.4225880250028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38385408--2.38380614) × cos(1.37164245) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197840002703837 × 6371000     		du = 60.4254292273817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37165194)-sin(1.37164245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197830700271177-0.197840002703837)×R²
    abs(-2.38380614--2.38385408)×9.3024326597857e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.3024326597857e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.3024326597857e-06×40589641000000     		ar = 3653.28329666793m²