Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15805 / 19348
↖ ↑ ↗
← S 30.939924°
W  6.361084°		 ← 1 047.81 m → S 30.939924°
W  6.350098°		 →
↑
1 047.71 m
↓
↑
1 047.71 m
↓
S 30.949347°
W  6.361084°		 ← 1 047.71 m →
1 097 746 m²		 S 30.949347°
W  6.350098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482345581054688 y=0.590469360351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482345581054688 × 215)
    floor (0.482345581054688 × 32768)
    floor (15805.5)     		tx = 15805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590469360351562 × 215)
    floor (0.590469360351562 × 32768)
    floor (19348.5)     		ty = 19348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15805 / 19348 ti = "15/15805/19348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15805/19348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15805 ÷ 215
    15805 ÷ 32768     		x = 0.482330322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19348 ÷ 215
    19348 ÷ 32768     		y = 0.5904541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482330322265625 × 2 - 1) × π
    -0.03533935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11102186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5904541015625 × 2 - 1) × π
    -0.180908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.568339881895386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11102186} λ = -0.11102186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568339881895386))-π/2
    2×atan(0.566465057442187)-π/2
    2×0.515396388457283-π/2
    1.03079277691457-1.57079632675     		φ = -0.54000355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11102186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.361084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54000355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.939924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15805 KachelY 19348 -0.11102186 -0.54000355 -6.361084 -30.939924
    Oben rechts KachelX + 1 15806 KachelY 19348 -0.11083011 -0.54000355 -6.350098 -30.939924
    Unten links KachelX 15805 KachelY + 1 19349 -0.11102186 -0.54016800 -6.361084 -30.949347
    Unten rechts KachelX + 1 15806 KachelY + 1 19349 -0.11083011 -0.54016800 -6.350098 -30.949347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54000355--0.54016800) × R
    0.000164449999999983 × 6371000     		dl = 1047.71094999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54000355--0.54016800) × R
    0.000164449999999983 × 6371000     		dr = 1047.71094999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11102186--0.11083011) × cos(-0.54000355) × R
    0.000191750000000004 × 0.857706856175649 × 6371000     		do = 1047.8083604983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11102186--0.11083011) × cos(-0.54016800) × R
    0.000191750000000004 × 0.857622294413648 × 6371000     		du = 1047.70505653079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54000355)-sin(-0.54016800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857706856175649-0.857622294413648)×R²
    abs(-0.11083011--0.11102186)×8.45617620012229e-05×R²
    0.000191750000000004×8.45617620012229e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.45617620012229e-05×40589641000000     		ar = 1097746.1789205m²