Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15804 / 19212
↖ ↑ ↗
← S 29.649869°
W  6.372070°		 ← 1 061.68 m → S 29.649869°
W  6.361084°		 →
↑
1 061.60 m
↓
↑
1 061.60 m
↓
S 29.659416°
W  6.372070°		 ← 1 061.58 m →
1 127 029 m²		 S 29.659416°
W  6.361084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482315063476562 y=0.586318969726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482315063476562 × 215)
    floor (0.482315063476562 × 32768)
    floor (15804.5)     		tx = 15804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586318969726562 × 215)
    floor (0.586318969726562 × 32768)
    floor (19212.5)     		ty = 19212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15804 / 19212 ti = "15/15804/19212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15804/19212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15804 ÷ 215
    15804 ÷ 32768     		x = 0.4822998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19212 ÷ 215
    19212 ÷ 32768     		y = 0.5863037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4822998046875 × 2 - 1) × π
    -0.035400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11121361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5863037109375 × 2 - 1) × π
    -0.172607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.542262208502075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11121361} λ = -0.11121361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.542262208502075))-π/2
    2×atan(0.581431444331648)-π/2
    2×0.526654247796906-π/2
    1.05330849559381-1.57079632675     		φ = -0.51748783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11121361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.372070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51748783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.649869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15804 KachelY 19212 -0.11121361 -0.51748783 -6.372070 -29.649869
    Oben rechts KachelX + 1 15805 KachelY 19212 -0.11102186 -0.51748783 -6.361084 -29.649869
    Unten links KachelX 15804 KachelY + 1 19213 -0.11121361 -0.51765446 -6.372070 -29.659416
    Unten rechts KachelX + 1 15805 KachelY + 1 19213 -0.11102186 -0.51765446 -6.361084 -29.659416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51748783--0.51765446) × R
    0.000166630000000056 × 6371000     		dl = 1061.59973000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51748783--0.51765446) × R
    0.000166630000000056 × 6371000     		dr = 1061.59973000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11121361--0.11102186) × cos(-0.51748783) × R
    0.000191750000000004 × 0.869064687339429 × 6371000     		do = 1061.68353284285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11121361--0.11102186) × cos(-0.51765446) × R
    0.000191750000000004 × 0.868982243669901 × 6371000     		du = 1061.58281642024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51748783)-sin(-0.51765446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869064687339429-0.868982243669901)×R²
    abs(-0.11102186--0.11121361)×8.24436695281427e-05×R²
    0.000191750000000004×8.24436695281427e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.24436695281427e-05×40589641000000     		ar = 1127029.49415592m²