Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15804 / 18747
↖ ↑ ↗
← S 25.115446°
W  6.372070°		 ← 1 106.14 m → S 25.115446°
W  6.361084°		 →
↑
1 106.07 m
↓
↑
1 106.07 m
↓
S 25.125393°
W  6.372070°		 ← 1 106.05 m →
1 223 416 m²		 S 25.125393°
W  6.361084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482315063476562 y=0.572128295898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482315063476562 × 215)
    floor (0.482315063476562 × 32768)
    floor (15804.5)     		tx = 15804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572128295898438 × 215)
    floor (0.572128295898438 × 32768)
    floor (18747.5)     		ty = 18747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15804 / 18747 ti = "15/15804/18747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15804/18747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15804 ÷ 215
    15804 ÷ 32768     		x = 0.4822998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18747 ÷ 215
    18747 ÷ 32768     		y = 0.572113037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4822998046875 × 2 - 1) × π
    -0.035400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11121361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572113037109375 × 2 - 1) × π
    -0.14422607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.453099575208771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11121361} λ = -0.11121361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.453099575208771))-π/2
    2×atan(0.635654835012078)-π/2
    2×0.566224555761519-π/2
    1.13244911152304-1.57079632675     		φ = -0.43834722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11121361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.372070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43834722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.115446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15804 KachelY 18747 -0.11121361 -0.43834722 -6.372070 -25.115446
    Oben rechts KachelX + 1 15805 KachelY 18747 -0.11102186 -0.43834722 -6.361084 -25.115446
    Unten links KachelX 15804 KachelY + 1 18748 -0.11121361 -0.43852083 -6.372070 -25.125393
    Unten rechts KachelX + 1 15805 KachelY + 1 18748 -0.11102186 -0.43852083 -6.361084 -25.125393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43834722--0.43852083) × R
    0.000173609999999991 × 6371000     		dl = 1106.06930999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43834722--0.43852083) × R
    0.000173609999999991 × 6371000     		dr = 1106.06930999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11121361--0.11102186) × cos(-0.43834722) × R
    0.000191750000000004 × 0.905454411382013 × 6371000     		do = 1106.13864802994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11121361--0.11102186) × cos(-0.43852083) × R
    0.000191750000000004 × 0.905380710096002 × 6371000     		du = 1106.04861164617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43834722)-sin(-0.43852083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905454411382013-0.905380710096002)×R²
    abs(-0.11102186--0.11121361)×7.37012860111408e-05×R²
    0.000191750000000004×7.37012860111408e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.37012860111408e-05×40589641000000     		ar = 1223416.22102331m²