Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15802 / 19351
↖ ↑ ↗
← S 30.968189°
W  6.394043°		 ← 1 047.50 m → S 30.968189°
W  6.383056°		 →
↑
1 047.39 m
↓
↑
1 047.39 m
↓
S 30.977609°
W  6.394043°		 ← 1 047.40 m →
1 097 088 m²		 S 30.977609°
W  6.383056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482254028320312 y=0.590560913085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482254028320312 × 215)
    floor (0.482254028320312 × 32768)
    floor (15802.5)     		tx = 15802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590560913085938 × 215)
    floor (0.590560913085938 × 32768)
    floor (19351.5)     		ty = 19351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15802 / 19351 ti = "15/15802/19351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15802/19351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15802 ÷ 215
    15802 ÷ 32768     		x = 0.48223876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19351 ÷ 215
    19351 ÷ 32768     		y = 0.590545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48223876953125 × 2 - 1) × π
    -0.0355224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11159710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590545654296875 × 2 - 1) × π
    -0.18109130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.568915124690826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11159710} λ = -0.11159710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568915124690826))-π/2
    2×atan(0.56613929620391)-π/2
    2×0.515149730099456-π/2
    1.03029946019891-1.57079632675     		φ = -0.54049687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11159710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.394043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54049687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.968189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15802 KachelY 19351 -0.11159710 -0.54049687 -6.394043 -30.968189
    Oben rechts KachelX + 1 15803 KachelY 19351 -0.11140535 -0.54049687 -6.383056 -30.968189
    Unten links KachelX 15802 KachelY + 1 19352 -0.11159710 -0.54066127 -6.394043 -30.977609
    Unten rechts KachelX + 1 15803 KachelY + 1 19352 -0.11140535 -0.54066127 -6.383056 -30.977609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54049687--0.54066127) × R
    0.000164399999999953 × 6371000     		dl = 1047.3923999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54049687--0.54066127) × R
    0.000164399999999953 × 6371000     		dr = 1047.3923999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11159710--0.11140535) × cos(-0.54049687) × R
    0.000191750000000004 × 0.857453116748692 × 6371000     		do = 1047.49838245506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11159710--0.11140535) × cos(-0.54066127) × R
    0.000191750000000004 × 0.857368511152834 × 6371000     		du = 1047.39502493839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54049687)-sin(-0.54066127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857453116748692-0.857368511152834)×R²
    abs(-0.11140535--0.11159710)×8.46055958579894e-05×R²
    0.000191750000000004×8.46055958579894e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.46055958579894e-05×40589641000000     		ar = 1097087.71932802m²