Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 15802 / 17479
↖ ↑ ↗
← N 78.591497°
W136.598511°		 ← 60.41 m → N 78.591497°
W136.595764°		 →
↑
60.40 m
↓
↑
60.40 m
↓
N 78.590953°
W136.598511°		 ← 60.42 m →
3 649 m²		 N 78.590953°
W136.595764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120563507080078 y=0.133358001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120563507080078 × 217)
    floor (0.120563507080078 × 131072)
    floor (15802.5)     		tx = 15802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133358001708984 × 217)
    floor (0.133358001708984 × 131072)
    floor (17479.5)     		ty = 17479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15802 / 17479 ti = "17/15802/17479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15802/17479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15802 ÷ 217
    15802 ÷ 131072     		x = 0.120559692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17479 ÷ 217
    17479 ÷ 131072     		y = 0.133354187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.120559692382812 × 2 - 1) × π
    -0.758880615234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.38409377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133354187011719 × 2 - 1) × π
    0.733291625976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.30370358504104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38409377} λ = -2.38409377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30370358504104))-π/2
    2×atan(10.011191177925)-π/2
    2×1.47123835540631-π/2
    2.94247671081262-1.57079632675     		φ = 1.37168038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38409377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.598511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37168038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.591497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15802 KachelY 17479 -2.38409377 1.37168038 -136.598511 78.591497
    Oben rechts KachelX + 1 15803 KachelY 17479 -2.38404583 1.37168038 -136.595764 78.591497
    Unten links KachelX 15802 KachelY + 1 17480 -2.38409377 1.37167090 -136.598511 78.590953
    Unten rechts KachelX + 1 15803 KachelY + 1 17480 -2.38404583 1.37167090 -136.595764 78.590953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37168038-1.37167090) × R
    9.47999999989513e-06 × 6371000     		dl = 60.3970799993319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37168038-1.37167090) × R
    9.47999999989513e-06 × 6371000     		dr = 60.3970799993319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38409377--2.38404583) × cos(1.37168038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197802822273556 × 6371000     		do = 60.4140733669498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38409377--2.38404583) × cos(1.37167090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197812114957208 × 6371000     		du = 60.4169115917306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37168038)-sin(1.37167090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197802822273556-0.197812114957208)×R²
    abs(-2.38404583--2.38409377)×9.29268365121305e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.29268365121305e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.29268365121305e-06×40589641000000     		ar = 3648.91933244466m²