Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15800 / 19304
↖ ↑ ↗
← S 30.524413°
W  6.416016°		 ← 1 052.34 m → S 30.524413°
W  6.405029°		 →
↑
1 052.30 m
↓
↑
1 052.30 m
↓
S 30.533877°
W  6.416016°		 ← 1 052.23 m →
1 107 317 m²		 S 30.533877°
W  6.405029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482192993164062 y=0.589126586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482192993164062 × 215)
    floor (0.482192993164062 × 32768)
    floor (15800.5)     		tx = 15800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589126586914062 × 215)
    floor (0.589126586914062 × 32768)
    floor (19304.5)     		ty = 19304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15800 / 19304 ti = "15/15800/19304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15800/19304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15800 ÷ 215
    15800 ÷ 32768     		x = 0.482177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19304 ÷ 215
    19304 ÷ 32768     		y = 0.589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482177734375 × 2 - 1) × π
    -0.03564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11198060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589111328125 × 2 - 1) × π
    -0.17822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.559902987562256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11198060} λ = -0.11198060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559902987562256))-π/2
    2×atan(0.57126448092059)-π/2
    2×0.51902240650453-π/2
    1.03804481300906-1.57079632675     		φ = -0.53275151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11198060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.416016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53275151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.524413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15800 KachelY 19304 -0.11198060 -0.53275151 -6.416016 -30.524413
    Oben rechts KachelX + 1 15801 KachelY 19304 -0.11178885 -0.53275151 -6.405029 -30.524413
    Unten links KachelX 15800 KachelY + 1 19305 -0.11198060 -0.53291668 -6.416016 -30.533877
    Unten rechts KachelX + 1 15801 KachelY + 1 19305 -0.11178885 -0.53291668 -6.405029 -30.533877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53275151--0.53291668) × R
    0.000165170000000048 × 6371000     		dl = 1052.2980700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53275151--0.53291668) × R
    0.000165170000000048 × 6371000     		dr = 1052.2980700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11198060--0.11178885) × cos(-0.53275151) × R
    0.000191750000000004 × 0.861412826155277 × 6371000     		do = 1052.33571888474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11198060--0.11178885) × cos(-0.53291668) × R
    0.000191750000000004 × 0.861328923662846 × 6371000     		du = 1052.23322030681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53275151)-sin(-0.53291668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861412826155277-0.861328923662846)×R²
    abs(-0.11178885--0.11198060)×8.3902492431176e-05×R²
    0.000191750000000004×8.3902492431176e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.3902492431176e-05×40589641000000     		ar = 1107316.91896462m²