Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15798 / 21686
↖ ↑ ↗
← N 76.065124°
W136.609497°		 ← 73.54 m → N 76.065124°
W136.606751°		 →
↑
73.59 m
↓
↑
73.59 m
↓
N 76.064462°
W136.609497°		 ← 73.54 m →
5 411 m²		 N 76.064462°
W136.606751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120532989501953 y=0.165454864501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120532989501953 × 217)
    floor (0.120532989501953 × 131072)
    floor (15798.5)     		tx = 15798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165454864501953 × 217)
    floor (0.165454864501953 × 131072)
    floor (21686.5)     		ty = 21686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15798 / 21686 ti = "17/15798/21686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15798/21686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15798 ÷ 217
    15798 ÷ 131072     		x = 0.120529174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21686 ÷ 217
    21686 ÷ 131072     		y = 0.165451049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.120529174804688 × 2 - 1) × π
    -0.758941650390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.38428551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165451049804688 × 2 - 1) × π
    0.669097900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10203304833946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38428551} λ = -2.38428551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10203304833946))-π/2
    2×atan(8.18278901874698)-π/2
    2×1.4491915910334-π/2
    2.8983831820668-1.57079632675     		φ = 1.32758686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38428551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.609497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32758686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.065124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15798 KachelY 21686 -2.38428551 1.32758686 -136.609497 76.065124
    Oben rechts KachelX + 1 15799 KachelY 21686 -2.38423758 1.32758686 -136.606751 76.065124
    Unten links KachelX 15798 KachelY + 1 21687 -2.38428551 1.32757531 -136.609497 76.064462
    Unten rechts KachelX + 1 15799 KachelY + 1 21687 -2.38423758 1.32757531 -136.606751 76.064462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32758686-1.32757531) × R
    1.15499999999713e-05 × 6371000     		dl = 73.5850499998172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32758686-1.32757531) × R
    1.15499999999713e-05 × 6371000     		dr = 73.5850499998172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38428551--2.38423758) × cos(1.32758686) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.240818873804076 × 6371000     		do = 73.5369401671715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38428551--2.38423758) × cos(1.32757531) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.240830083872376 × 6371000     		du = 73.5403632963841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32758686)-sin(1.32757531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240818873804076-0.240830083872376)×R²
    abs(-2.38423758--2.38428551)×1.12100683002658e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.12100683002658e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.12100683002658e-05×40589641000000     		ar = 5411.34536462865m²