Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15788 / 19350
↖ ↑ ↗
← S 30.958768°
W  6.547852°		 ← 1 047.60 m → S 30.958768°
W  6.536865°		 →
↑
1 047.58 m
↓
↑
1 047.58 m
↓
S 30.968189°
W  6.547852°		 ← 1 047.50 m →
1 097 396 m²		 S 30.968189°
W  6.536865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481826782226562 y=0.590530395507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481826782226562 × 215)
    floor (0.481826782226562 × 32768)
    floor (15788.5)     		tx = 15788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590530395507812 × 215)
    floor (0.590530395507812 × 32768)
    floor (19350.5)     		ty = 19350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15788 / 19350 ti = "15/15788/19350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15788/19350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15788 ÷ 215
    15788 ÷ 32768     		x = 0.4818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19350 ÷ 215
    19350 ÷ 32768     		y = 0.59051513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11428157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59051513671875 × 2 - 1) × π
    -0.1810302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.568723377092346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11428157} λ = -0.11428157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568723377092346))-π/2
    2×atan(0.566247862462689)-π/2
    2×0.515231941442894-π/2
    1.03046388288579-1.57079632675     		φ = -0.54033244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11428157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.547852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54033244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.958768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15788 KachelY 19350 -0.11428157 -0.54033244 -6.547852 -30.958768
    Oben rechts KachelX + 1 15789 KachelY 19350 -0.11408982 -0.54033244 -6.536865 -30.958768
    Unten links KachelX 15788 KachelY + 1 19351 -0.11428157 -0.54049687 -6.547852 -30.968189
    Unten rechts KachelX + 1 15789 KachelY + 1 19351 -0.11408982 -0.54049687 -6.536865 -30.968189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54033244--0.54049687) × R
    0.000164429999999993 × 6371000     		dl = 1047.58352999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54033244--0.54049687) × R
    0.000164429999999993 × 6371000     		dr = 1047.58352999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11428157--0.11408982) × cos(-0.54033244) × R
    0.000191750000000004 × 0.85753771460249 × 6371000     		do = 1047.60173051372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11428157--0.11408982) × cos(-0.54049687) × R
    0.000191750000000004 × 0.857453116748692 × 6371000     		du = 1047.49838245506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54033244)-sin(-0.54049687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85753771460249-0.857453116748692)×R²
    abs(-0.11408982--0.11428157)×8.45978537973302e-05×R²
    0.000191750000000004×8.45978537973302e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.45978537973302e-05×40589641000000     		ar = 1097396.18849625m²