Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15787 / 21693
↖ ↑ ↗
← N 76.060493°
W136.639710°		 ← 73.58 m → N 76.060493°
W136.636963°		 →
↑
73.52 m
↓
↑
73.52 m
↓
N 76.059832°
W136.639710°		 ← 73.58 m →
5 410 m²		 N 76.059832°
W136.636963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120449066162109 y=0.165508270263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120449066162109 × 217)
    floor (0.120449066162109 × 131072)
    floor (15787.5)     		tx = 15787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165508270263672 × 217)
    floor (0.165508270263672 × 131072)
    floor (21693.5)     		ty = 21693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15787 / 21693 ti = "17/15787/21693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15787/21693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15787 ÷ 217
    15787 ÷ 131072     		x = 0.120445251464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21693 ÷ 217
    21693 ÷ 131072     		y = 0.165504455566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.120445251464844 × 2 - 1) × π
    -0.759109497070312 × 3.1415926535     		Λ = -2.38481282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165504455566406 × 2 - 1) × π
    0.668991088867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.10169749004212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38481282} λ = -2.38481282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10169749004212))-π/2
    2×atan(8.18004367663328)-π/2
    2×1.44915118006682-π/2
    2.89830236013364-1.57079632675     		φ = 1.32750603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38481282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.639710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32750603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.060493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15787 KachelY 21693 -2.38481282 1.32750603 -136.639710 76.060493
    Oben rechts KachelX + 1 15788 KachelY 21693 -2.38476488 1.32750603 -136.636963 76.060493
    Unten links KachelX 15787 KachelY + 1 21694 -2.38481282 1.32749449 -136.639710 76.059832
    Unten rechts KachelX + 1 15788 KachelY + 1 21694 -2.38476488 1.32749449 -136.636963 76.059832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32750603-1.32749449) × R
    1.153999999981e-05 × 6371000     		dl = 73.5213399987897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32750603-1.32749449) × R
    1.153999999981e-05 × 6371000     		dr = 73.5213399987897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38481282--2.38476488) × cos(1.32750603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24089732419644 × 6371000     		do = 73.5762435066693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38481282--2.38476488) × cos(1.32749449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240908524334395 × 6371000     		du = 73.5796643170923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32750603)-sin(1.32749449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24089732419644-0.240908524334395)×R²
    abs(-2.38476488--2.38481282)×1.12001379547755e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12001379547755e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12001379547755e-05×40589641000000     		ar = 5409.54976594244m²